Titta

UR Samtiden - Matematik i kubik

UR Samtiden - Matematik i kubik

Om UR Samtiden - Matematik i kubik

Från Matematikbiennalen 2012. Ungefär 2 500 matematiklärare samlades i Umeå för att få nya idéer och diskutera olika typer av svårigheter. Vad betyder 5-3=2? Vad är minus? Vad finns det för lösningar för att hjälpa elever som har riktigt svårt för matte? Vilka nya krav ställer den nya kursplanen på lärarna när de ska bedöma elevernas kunskaper i matematik? Inspelat den 26-27 januari 2012. Arrangör: Umeå universitet.

Till första programmet

UR Samtiden - Matematik i kubik : Att bedöma problemlösning i matematikDela
  1. Det här gick kanonbra,
    blika bra som en av våra skolklasser.

  2. Det är tyst direkt
    så fort man säger nånting.

  3. I alla fall i mina klasser.
    Jag vet inte hur det är för er.

  4. Välkomna till nästa föredrag.

  5. Speciellt vill jag hälsa Eva Taflin
    från Högskolan i Dalarna.

  6. Eva har nästan kommit hem-

  7. -för hon gjorde sin forskarutbildning
    vid Umeå Universitet.

  8. Sen jobbade du vidare söderut.

  9. Har jobbat med matematiska problem
    och egenskaper hos dem.

  10. I dag ska hon prata om
    hur man kan bedöma olika förmågor.

  11. -Välkommen.
    -Tack så mycket.

  12. Jag tycker det är viktigt att berätta
    vad jag har för bakgrund-

  13. -och varför jag tycker
    det här är intressant.

  14. Jag kommer från
    grund- och gymnasieskola.

  15. Där var arbetsglädje intressant.

  16. Jag upptäckte att elever som fick
    jobba fritt och med öppna problem-

  17. -upplevde mer arbetsglädje.

  18. Det var bakgrunden till
    att det blev en avhandling om-

  19. -rika matematiska problem.

  20. I den här avhandlingen
    har jag sett under senare tid-

  21. -att lärare också använder problemen
    för bedömning.

  22. Jag tänker
    utifrån de lärare jag möter-

  23. -och de rapporter och uppsatser
    som lärare konstruerar-

  24. -lyfta fram möjligheten
    att använda problemen för bedömning-

  25. -utifrån ett empiriskt material.

  26. Det den här föreläsningen
    ska handla om är problemlösning.

  27. Vad vi menar med problemlösning.

  28. Vi vet att vi använder en oklar
    terminologi. Mycket tyder på det.

  29. Vi använder ordet "problem"
    för alla uppgifter i läroboken.

  30. Vi är inte klara över
    vad problemlösning är-

  31. -till skillnad mot färdighetsträning
    eller procedurträning-

  32. -eller allt annat vi gör
    när vi löser problem av annat slag.

  33. Jag vill också fokusera på varför jag
    pratar om just rika problem.

  34. Vad är de rika på? Varför är de rika?

  35. Sen vill jag komma in lite på
    bedömning.

  36. Sen har vi alldeles nya kursplaner
    för grundskolan och gymnasieskolan.

  37. Där har vi infört begreppet förmågor
    som kommer igen i andra skolämnen.

  38. Våra förmågor härrör ju mest
    från kompetensbegreppet-

  39. -och projekt och begrepp från Danmark
    och USA.

  40. Problemlösningsförmåga
    är en speciell förmåga-

  41. -av 7 eller 9,
    beroende på hur man ser på det.

  42. Men vi vet att problemlösning i
    skolan blivit ett centralt innehåll.

  43. Då måste man vara klar över
    vad "centralt innehåll" betyder-

  44. -och vad "problemlösningsförmåga"
    betyder, som är mer övergripande-

  45. -och kanske gäller
    alla centrala innehåll-

  46. -både problemlösning, algebra,
    statistik, funktioner och samband.

  47. Och vad menar vi med
    representationsförmåga?

  48. Är uttrycksformer samma sak?
    Hur ska man förstå representationer?

  49. Hur kan man tydliggöra
    representationsformer-

  50. -och representationsförmågan?

  51. Och resonemangsförmågan.

  52. Tittar man på anvisningarna i
    styrdokumenten och från Skolverket-

  53. -och man kan titta på Lithner.

  54. Då kan man beskriva
    resonemangsförmåga på olika sätt.

  55. Jag kommer att visa vad jag menar-

  56. -i mitt sätt att förhålla mig till
    den här terminologin.

  57. Vi är ju här allihop för att vi
    vill vara de här duktiga lärarna.

  58. Vi vill ha elever som når alla mål.
    Det är jag övertygad om.

  59. Jag vet
    att ni är ett riktat, positivt urval.

  60. Jag vet att ni inte är
    vilka lärare som helst. Det är så.

  61. Ni är mer entusiastiska inför
    att utveckla verksamheten-

  62. -och det här lärandet
    som är så svårt.

  63. Jag tror att vi har en stor uppgift
    och alltid är utmanade av-

  64. -det svåra och det vi kan utveckla
    och förändra.

  65. Men vi måste vara öppna för att
    diskutera vad det är att kunna matte.

  66. Jag läste P.C. Jersild i humanistiska
    tidningen Sans där han sa-

  67. -att matte var det värsta han visste.

  68. Han och jag kanske inte har samma
    uppfattning om vad matematik är.

  69. Eftersom han är läkare
    och duktig författare-

  70. -så tror jag han är
    väldigt matematisk.

  71. Men det betyder att om han hatar det
    och aldrig haft nån nytta av det-

  72. -kanske matematik är en kunskap
    man kan vara omedveten om-

  73. -precis som luften vi andas
    eller att träden växer av luften.

  74. Jag tror att mycket av
    matematikkunnandet är otydligt.

  75. Vi måste som lärare och forskare
    hjälpas åt-

  76. -för att tydliggöra matematikens
    innehåll i undervisningen.

  77. Vi måste diskutera vad det är
    att kunna matematik.

  78. Jag tror att vi har individuella
    föreställningar om det här "kunna".

  79. Den är olika i den generation
    vi lever i, i den kultur vi lever i-

  80. -och i det lilla samhället
    i den lilla miljön-

  81. -i de olika socioekonomiska
    förhållanden vi växer upp i.

  82. Vi har individuella uppfattningar om
    vad det är att kunna matematik.

  83. Vi har olika uppfattningar om vad
    kunnandet innebär för individen.

  84. Vi vet att elever med goda betyg
    i andra ämnen-

  85. -ofta också har goda betyg
    i matematik.

  86. Vi vet att elever
    med gott självförtroende-

  87. -också ofta är duktiga i matematik.

  88. Eller så är de duktiga i matematik
    och får gott självförtroende.

  89. Hur som helst ska man vara medveten
    om att matematik är ett laddat ämne.

  90. Även om vi inte vill
    att det ska vara laddat-

  91. -finns det många som tror att
    matematik har med begåvning att göra.

  92. Så tror inte jag att det är.

  93. Jag tror vi måste vara klara över
    att alla barn-

  94. -alla lärande individer
    har förmågan att lära sig matematik.

  95. Oberoende av begåvning måste man ges
    tillfälle att lära sig det här.

  96. Till de här nya kursplanerna
    och läroplanerna-

  97. -finns
    Statens Offentliga Utredningar.

  98. Jag har tagit texter där som jag
    tycker är giltiga i detta sammanhang.

  99. För ni är eldsjälarna, banbrytarna-

  100. -och kommer alltid att se till
    att lärandet blir mångfacetterat-

  101. -och att matematiken
    har många ansikten-

  102. -att man kan jobba med matematik
    på många sätt.

  103. Det är ni som kommer att gå härifrån.
    Berätta för era kolleger, rektorer.

  104. Sätt i gång med utvecklingsarbetet.

  105. Låt det ta tid. Jobba inte ensam,
    utan ha kolleger med er.

  106. Vi måste också börja diskutera
    vad matematik är.

  107. Det här tycker jag är
    lite komplicerat.

  108. Jag håller med en liten pilotstudie
    som heter-

  109. -"Bedömning av
    matematiska kompetenser"-

  110. -"i estetiska och kreativa
    läroprocesser."

  111. Jag tycker det är svårt
    att titta på kreativitetsbegreppet.

  112. Och estetik, som både härrör till
    svenska språket inom akademin-

  113. -men "estetiskt", som är nånting av
    känsla på en individnivå.

  114. Jag tycker kreativitet och estetiska
    dimensioner måste identifieras-

  115. -och diskuteras i lärande miljöer.

  116. Det vill jag veta mer om, för jag
    ser inte exempel på den här texten.

  117. Samtidigt är det här oerhört viktigt.

  118. Människor som sysslar med matematik-

  119. -upplever den estetiska dimensionen
    i ett vackert matematiskt bevis.

  120. Jag tror det finns
    estetiska dimensioner i matematik-

  121. -som inte bara handlar om
    matematiska bevis.

  122. Det finns mycket annat som kan
    uppfattas som en estetisk dimension.

  123. Jag tyckte det lät som om det var
    den här texten vi hörde i morse-

  124. -och det är möjligt.

  125. Men jag läste häromdagen i en av
    uppsatserna som jag handleder-

  126. -om konkreta tal.

  127. Jag har funderat över
    hur de konkreta talen kan se ut.

  128. Det kan ni också få göra.

  129. För annars är matematiken abstrakt.

  130. "Den har frigjort sig från
    det konkreta ursprunget"-

  131. -"vilket är en förutsättning för
    att den ska kunna vara generell."

  132. Den har en logisk giltighet
    i sitt resonemang.

  133. Här har vi det matematiska
    resonemanget som jag menar-

  134. -när jag pratar om
    ett matematiskt resonemang.

  135. Det finns en logik i
    ett matematiskt resonemang.

  136. Det är inte bara en kommunikation
    där jag använder lite ord-

  137. -utan det finns en logisk bevisföring
    - en argumentation-

  138. -där jag förstår vad jag gjort
    och kan berätta om det.

  139. Det kan vara både muntligt
    och skriftligt. Det är okej.

  140. Men ett matematiskt resonemang
    är mer än matematisk kommunikation.

  141. Det är en väldigt precis
    argumentation.

  142. Det är en bild för att illustrera vad
    jag tycker är viktigt att tänka på-

  143. -när man jobbar med undervisning.

  144. För mig finns en konkret
    och en abstrakt värld.

  145. Utifrån den definitionen
    är matematiken abstrakt.

  146. Den konkreta världen är full av kilo,
    liter, människor-

  147. -och allt det som vi behöver
    i vår konkreta värld.

  148. Men det finns inte
    i matematikens värld.

  149. Där har vi ett annat språk.

  150. Det är mer precist, mer definierat.

  151. Vi har area-, längd-
    och volymenheter.

  152. Vi har inte kilo, liter och kubik.
    Vi har ett mer generellt språk.

  153. Jag tror att lärandet,
    redan när barnen är 2-3 år-

  154. -kan förstå skillnaden mellan
    det här.

  155. Lärararbetet är slingerbanan
    mellan de här två världarna.

  156. Här ska vi befinna oss
    i vårt lärande.

  157. Vi ska hjälpa barnen förstå sambandet
    mellan den konkreta verkliga världen-

  158. -och den abstrakta
    matematiska världen.

  159. Om vi hoppar över hinderbanan
    eller gräver gropar och tar oss fram-

  160. -har ingen betydelse, men lärandet
    är mellan de här två världarna.

  161. Det är oerhört viktigt
    för att barn ska förstå-

  162. -och även vuxna ska förstå
    matematikens språk.

  163. En annan sak jag har märkt
    och har vetat länge är-

  164. -att vi i matematikundervisning
    och -didaktik har ett oprecist språk-

  165. -som skiljer sig från
    det matematiska språket.

  166. Jag tror inte vi ska sträva efter
    enhetligt språk-

  167. -men vi ska vara överens om och kunna
    diskutera att det är så-

  168. -att vi har olika uppfattning om
    många såna här vardagliga termer.

  169. Därför är jag noga med
    att kalla uppgifter för uppgifter-

  170. -och rika problem för rika problem
    om de är det på individnivå.

  171. Ett rikt problem
    uppfyller 7 kriterier.

  172. Det första är att det ska finnas
    matematiskt innehåll i problemet.

  173. Det gäller för läraren
    som valt att arbeta med problemet-

  174. -att vara medveten om vilka möjliga
    matematiska idéer man kan jobba med.

  175. Ett rikt problem ska tillåtas ta tid.
    Det tror jag är viktigt.

  176. Och det ska finnas en utmaning.

  177. Det ska vara ett rejält problem,
    enligt definitionen av problem.

  178. Det ska kunna lösas
    med olika lösningsmetoder-

  179. -uttrycksformer
    eller representationer.

  180. Man ska kunna kommunicera och
    argumentera när man jobbar med det.

  181. Det ska alltså gå att kommunicera
    de här lösningarna.

  182. Det sista kriteriet är-

  183. -att elever som jobbar med dem
    ska stimuleras att formulera egna.

  184. Det vill säga något av det-

  185. -som är
    i kriteriet för kunskapsbedömning.

  186. Det gäller att ha en undervisning-

  187. -där eleverna får möjlighet
    att jobba på ett matematiskt sätt.

  188. Att utveckla tålamod
    är en viktig egenskap-

  189. -eller det blir en egenskap
    genom att man sitter med dem.

  190. När man sitter och arbetar med
    problemlösning.

  191. Det kan också vara så att man
    sitter själv och kommunicerar-

  192. -tittar, läser, löser problem
    och gör det på olika sätt-

  193. -för att se att man hamnar rätt,
    vilket man kollar med en annan metod-

  194. -eller med överslagsräkning.

  195. Rika problem är skapade-

  196. -för att vara ett stöd
    för lärare i undervisning-

  197. -när elever lär matematik.
    De är tänkta så.

  198. Framför allt i en klass
    där det är stor spridning-

  199. -där eleverna presterar olika
    och olika saker.

  200. En del är mer kreativa inom ett
    område och mindre inom ett annat.

  201. Jag har definierat tydligt vad jag
    avser med representationer-

  202. -med problem och problemlösning.

  203. Då kommer vi in på det andra tredje
    benet som föreläsningen står på.

  204. Det handlar om bedömning.

  205. Under senare år har det kommit
    mycket studier, forskningsrapporter-

  206. -och kunskaper om
    formativ och summativ bedömning.

  207. Lisa och jag har pratat om det.

  208. Hon sa: "All bedömning
    är i någon mening formativ."

  209. Det tog jag till mig,
    för jag har funderat mycket på det.

  210. Även när man får ett betyg
    med en siffra eller bokstav-

  211. -så betyder det nånting som den här
    individen ska gå vidare med.

  212. Annars är formativ bedömning
    nånting som läraren ger eleven-

  213. -eller som eleven kanske själv
    utvecklar kompetens inom-

  214. -för att bedöma nåt
    som man ska jobba vidare med.

  215. Summativ bedömning kan mer ses som
    ett tillfälligt avstamp-

  216. -eller bedömningen
    lite mer som en derivata.

  217. För att ännu mer tydliggöra
    vad jag menar med rika problem-

  218. -tänkte jag visa er några snabba,
    korta exempel.

  219. De här kan ha hetat nånting annat-

  220. -och man kan kalla dem för
    andra saker. Nu heter de så här.

  221. Jag börjar med ett problem
    som handlar om att stöpa ljus.

  222. Det är ett proportionalitetsproblem.
    Allt som rör proportionalitet funkar.

  223. Sen är det ett problem som har varit
    i flera gamla nummer av Nämnaren.

  224. Ni kan gå in där
    och hämta lite mer data.

  225. Jag tänkte visa det
    så att ni kan jobba vidare med det.

  226. Sen tog jag med problemet Klippa gräs
    eftersom det är en klassiker.

  227. Ni kan fundera vad jag menar när jag
    säger att det är en klassiker.

  228. Det sista uttrycket
    har jag bara använt.

  229. Det är ett helt vanligt
    algebraiskt uttryck.

  230. Jag kallar det för ekvationsuttryck.

  231. Det här Stöpa ljus
    tänkte jag vara tyst med.

  232. Det är för mycket text, men ni får
    den ändå så att jag kan vara tyst.

  233. Det här är ett problem
    jag använder i en kurs-

  234. -som heter
    Matematisk problemlösning i skolan.

  235. "Stöpa ljus" har tidigare varit
    Ahlgrens bilar, bitar, köttbullar-

  236. -och tågresor och allt det här
    som handlar om proportionalitet.

  237. När man får in lösningarna ser man
    en dominerande lösningsstrategi-

  238. -som jag har varit förvånad över,
    men har vant mig vid och accepterar.

  239. Det är vägen över 1.

  240. Jag kan inte förstå
    varför man måste gå vägen över 1-

  241. -när man jobbar med proportionalitet.

  242. Jag tror det är bra att tänka
    att man inte alltid måste göra så.

  243. Kanske är det en följd av
    procenträknandet-

  244. -som svenska elever
    är ganska duktiga på.

  245. Det är bra att träna på
    proportionalitet och skala-

  246. -utan att gå vägen över 1. Ni förstår
    vad jag menar med vägen över 1.

  247. Har man ett recept på 4 portioner-

  248. -omvandlar man först till 1 person
    om man ska göra till 8.

  249. Det tycker jag är lite omväg
    och lite krångligt.

  250. Då går man vägen över 1.

  251. Det gäller ju att som matematiklärare
    och matematiker att vara lat.

  252. Göra så lite som möjligt
    och så tydligt som möjligt.

  253. Det går ut på att vara lite lat.

  254. Det gör det så svårt att undersöka
    och ta reda på-

  255. -hur elever tänker
    när de jobbar med matematik.

  256. Tänkandet är så tyst.
    Då är man så lat.

  257. Många vet att vi löser problem när vi
    åker skidor eller går i skogen.

  258. Det är lyckan med matematik. Man kan
    vara matematisk i många miljöer-

  259. -fastän andra tror
    att man håller på med annat.

  260. Det kanske man gör också.

  261. Det här problemet har varit i
    Nämnaren, i flera artiklar.

  262. Hur många av er har provat det?

  263. Några stycken. Vad roligt.

  264. Alla artiklar i Nämnaren
    finns också ute på webben-

  265. -så att ni kan ladda hem, titta
    och läsa.

  266. Det här är
    ett klassiskt mönsterproblem.

  267. Det fanns tidigare nåt
    som hette Shell Centre.

  268. Därifrån fanns "The Blue Book"
    och "The Red Book".

  269. Den ena handlar om algebra,
    aritmetik-

  270. -och den andra om functions.

  271. De två böckerna
    är fulla av fantastiska problem-

  272. -som var en väldig inspirationskälla
    när jag letade och skrev om problem-

  273. -försvenskade dem och tittade på
    hur man ska jobba med dem.

  274. Det har funnits lösningar
    som har varit viktiga-

  275. -för att förstå vad problemlösning
    faktiskt går ut på.

  276. Bland annat går det ut på att skapa
    så många delproblem som möjligt.

  277. Samtidigt finns en risk med det.

  278. För i de här delproblemen finns också
    nån form av slussning med.

  279. Man kan se vad det ska gå ut på.

  280. Därför klipper många lärare sönder-

  281. -så de får bara A-uppgiften
    när de börjar jobba i klassen.

  282. När den är klar får de en remsa med B
    och en ny med C och en ny med D.

  283. Sen först kommer E-uppgiften:
    Skapa ett liknande problem.

  284. Eleverna får självständigt
    komma till nästa steg i sin takt.

  285. Jag har sett lärare som tycker
    de fungerar bra att ha som läxa.

  286. Att man skickar hem problemet
    och engagerar andra vuxna.

  287. Sen får man en bra klassrums-
    diskussion nästa mattelektion.

  288. Meningen med problem är att komma
    fram till det matematiska innehållet.

  289. Det matematiska innehållet kan
    variera, men det ska diskuteras.

  290. Får ni nån association
    av den där uppgiften?

  291. Jag hör nåt muller i alla fall.

  292. Vad tänker ni på?

  293. Måla staket. Absolut.

  294. Det är den unga generationen.
    Den gamla har andra associationer.

  295. Finns det några gamlingar här?

  296. Gräva diken. Absolut.

  297. Det här är ett gräva diken-problem.

  298. De är ju förhatliga.
    Vad ska man hålla på med det för?

  299. Men jag kan se ett värde i det.

  300. Jag kan se att här finns nåt
    som handlar om att tänka ut nåt-

  301. -kunna se ett samband och kunna
    uttrycka sig på ett generellt plan.

  302. Det finns inom fysiken också, så det
    förekommer i fler sammanhang.

  303. Plus att det är ett utmärkt problem
    om man vill rita en bild-

  304. -och göra bildlösningar
    och inte bara ekvationssystem.

  305. Då är det här ett utmärkt problem
    för att förstå vad man håller på med.

  306. Det går att förändra dem i all
    oändlighet och byta ut siffrorna-

  307. -så att de blir lättare och svårare.

  308. Ja... Alldeles efter jul blev jag
    utskälld av en lärare på högstadiet.

  309. Hoppas han inte är här. Men vi
    blev överens på slutet av den dan.

  310. Han sa "Så får man inte skriva".

  311. Ingen säger det i dag.
    Ni är så snälla och tysta.

  312. Får ni skriva så här?
    Är det okej att skriva så här?

  313. Ja, det kan man ju ifrågasätta.
    Han kanske hade rätt.

  314. Jag vill påstå att det är okej.

  315. Men vi är nog mer vana
    att det står 5x+y = 20.

  316. Eller att det står y = -5x+20.

  317. Vi kanske inte är vana
    att se uttrycket så här-

  318. -medan jag tycker det är viktigt
    att vi blir omskakade.

  319. Att vi rubbas i det vi tror är rätt,
    att vi ifrågasätter våra sanningar-

  320. -som egentligen bara är traditioner.

  321. Jag tror det är viktigt med kaos-

  322. -för kan vi inte acceptera lite kaos
    kommer vi aldrig till nån ny ordning.

  323. Det här uttrycket
    har jag jobbat mycket med.

  324. Jag tänker inte visa alla lösningar.
    Det gjorde jag för två år sen.

  325. Men jag ser hur bra det är
    att tänka kanske i kronor.

  326. Vi har en tjuga, femkronor
    och enkronor.

  327. Vi kan växla upp,
    så vi kan ha 10x 5y+z.

  328. Jobba med tiokronor, femkronor,
    enkronor.

  329. Men vi måste vara klara över
    att x och y är tal.

  330. Det är inte äpplen, inte päron.
    Det är tal.

  331. Det kan vara hela tal, negativa tal,
    rationella tal.

  332. Det har ingenting med äpplen
    och päron att göra.

  333. Det är ett tal,
    ett matematiskt uttryck-

  334. -och vi ska försöka flytta oss
    på två sidor om den där muren-

  335. -eller klagomuren
    som mina studenter brukar kalla den.

  336. Och det är viktigt att använda
    matematik där vi kan förstå det-

  337. -med pengar eller nåt som är konkret-

  338. -för att förstå att ett uttryck
    beskriver en konkret situation-

  339. -på ett matematiskt sätt.

  340. Då är x och y
    antalet femkronor och enkronor-

  341. -som tillsammans blir 20 kronor
    om vi vill ha en sån tolkning.

  342. Det kan vara 20 meter och 5 meter
    klippta sträckor-

  343. -och 1 meter. Det går bra att
    laborera med matematiska uttryck.

  344. Det är första steget
    in i matematisk modellering.

  345. Det här problemet är författat av
    en lärare eller hennes student.

  346. Vad vet jag? Det var en av
    slutrapporterna som kom i höstas-

  347. -som jag blev förtjust i.
    Den har jag lånat material ifrån.

  348. Man kan inte äga sina problem.
    Det vore bra att kunna ta patent.

  349. Om jag sa: "Allt som heter
    rika problem är mina."

  350. Men man kan inte ta patent på
    det vi tänker, och det är för väl.

  351. Det vore förfärligt
    om vi kunde ta patent på tankar.

  352. Den här läraren jobbar på gymnasiet.

  353. Jag ser att med små förändringar-

  354. -kan man jobba med förskolebarn
    för att förstå.

  355. För vad handlar problemet också om?

  356. Vad tycker ni
    att det är för matematiskt innehåll?

  357. Lite dubbelt och hälften. Utmärkt.

  358. Vad kan det mer handla om?

  359. Högre.

  360. Multiplikation kan det handla om.

  361. Vad kan det mer handla om?

  362. Ekvationer kan det handla om.

  363. Vad kan det mer handla om?

  364. Vad sa du? Bråkräkning. Absolut.

  365. Mer idéer?

  366. Vad sa du? Se mönster.

  367. Addition och subtraktion.

  368. Volym.

  369. Nu börjar ni bli modiga.

  370. Vad tror ni att det var... Vilken typ
    av de där första jag visade?

  371. Vi kan backa till dem.

  372. Vilken av de här tror ni att det
    problemet var en utveckling av?

  373. Kan ni se att det är naturligt
    att gå vidare till...

  374. Den här läraren sa-

  375. -att eleverna ska lära sig
    att sortera information i en tabell.

  376. Sen skulle de komma fram till
    ett generellt uttryck.

  377. Hon formulerade också ett till
    liknande problem till det.

  378. På vilket sätt
    är det här problemet liknande?

  379. Begreppet "Ett liknande problem"
    är svårt för eleverna att förstå.

  380. På vilket sätt
    är det ett liknande problem?

  381. Precis. Man kan också säga
    att man går ifrån diskreta värden-

  382. -till kontinuerliga värden.

  383. Det finns inte bara jämna sekunder
    när åskan går.

  384. Det finns alla andra sekunder också.

  385. Rationella tal. Delar av en hel.

  386. Vi ser att från det där Stöpa ljus-
    problemet som klassen jobbade med-

  387. -matematik 1 på gymnasiet-

  388. -så ledde uppgiften vidare mot
    algebraiska uttryck-

  389. -med heltalsvärden
    till variabler och funktioner.

  390. Läraren ville att eleverna skulle
    utveckla förmågan i problemlösning-

  391. -med representationer och resonemang.
    Så uttryckte läraren sig.

  392. Hon säger att eleverna ska lära sig
    sortera information, skapa en tabell-

  393. -överföra den till
    ett koordinatsystem-

  394. -förstå skillnaden på diskreta värden
    och kontinuerliga funktioner-

  395. -och komma fram till
    ett generellt funktionsuttryck.

  396. Alltså en övergång från ekvationer
    med diskreta värden-

  397. -till kontinuerliga funktioner.

  398. Läraren analyserade vad eleverna
    faktiskt lärde sig under arbetet.

  399. Jag har tagit ut...
    Jag plockade bort några bilder-

  400. -för det kanske inte är bra att ha
    bilder man inte fått med från början.

  401. Däremot kan jag säga
    att uttalandena är ganska lika.

  402. Lärare säger ganska lika saker
    och elever svarar ganska lika saker-

  403. -när man tittar på utskrifter.

  404. När läraren analyserar själv
    vad läraren sa och eleverna svarade-

  405. -eller vad eleven frågade.

  406. Analysen är att eleverna använder
    olika uttrycksformer i redovisningen.

  407. Det är aritmetisk/algebraiska
    och geometrisk/grafiska...

  408. ...representationer, eller uttrycks-
    former, som jag använder synonymt.

  409. Eleverna använder olika strategier,
    som att sätta upp en ekvation.

  410. Det vill säga under centralt innehåll
    som återkommer i alla kursplaner-

  411. -för alla åldersgrupper-

  412. -som matematiskt centralt innehåll.

  413. Man ser att eleven också
    har formulerat en egen uppgift-

  414. -liknande ursprungsuppgiften.

  415. I det här fallet hade eleven hittat
    på nåt om vaniljsås med portioner.

  416. Man kan se att uppgiften ledde till
    att läraren började diskutera-

  417. -vad det betyder
    att utveckla problemlösningsförmåga-

  418. -det vill säga förmågan
    att formulera och lösa problem.

  419. Man kan säga att eleven jobbar med
    att kommunicera matematik-

  420. -och använda dess uttrycksformer,
    det vill säga representationsförmåga.

  421. Vi tittar på analys av elever.

  422. Jag vet att det är för liten text,
    så jag läser upp det.

  423. Och...

  424. I det här fallet tar det 10 sekunder
    för Nina att springa 200 meter.

  425. Uppgiften är: Hur många sekunder
    tar det att springa 400 meter?

  426. Går man via hur lång tid det tar
    över 1 sekund-

  427. -tar det längre tid
    att lösa uppgiften.

  428. Hur många meter har hon sprungit
    om hon har sprungit en minut?

  429. När jag pratar om resonemangs-
    förmåga pratar jag om förmågan-

  430. -att utveckla, föra, följa
    och värdera matematiska resonemang.

  431. Det finns nåt annat som kanske är
    ännu viktigare att lyfta fram-

  432. -men som inte riktigt kommer fram
    i kunskapskraven.

  433. Ni får fundera över det.

  434. Vi har inte haft dem så länge.
    Jag har inte jobbat in mig på dem.

  435. Men vi vet
    av den här stora metastudien-

  436. -där man har tittat på
    50 000 studier-

  437. -så kan man se
    att det finns några särskilda...

  438. Det finns nåt som har större effekt
    på elevernas lärande än andra saker.

  439. Det handlar bland annat om feedback,
    alltså formativ bedömning.

  440. Det handlar om självvärdering-

  441. -och om mycket som man kan kalla för
    metakognitiv kompetens.

  442. Den metakognitiva kompetens
    vi vill att eleverna utvecklar-

  443. -är inget de gör med automatik.

  444. Vi måste redan i lärarutbildning
    få lärarna att bli medvetna om-

  445. -vad man lär sig och hur man lär sig.

  446. Vill vi få eleverna medvetna om-

  447. -vad de lär sig och hur de lär sig-

  448. -så kommer jag att fråga er det
    om en stund. Då är ni beredda.

  449. I det här fallet
    säger läraren så här:

  450. "Det var väldigt pratigt, men allt
    prat handlade om uppgiften."

  451. "Många elever behöver lära sig olika
    ord, inte bara matematiska begrepp."

  452. "Jag trodde
    att fler skulle hitta en lösning"-

  453. -"när de arbetade med problemet Åska,
    men bara fem gjorde det"-

  454. -"så det behövs göras fler gånger."

  455. Här tycker jag läraren beskriver
    sitt eget lärande också.

  456. "Vad kan jag göra för att mina elever
    ska lära sig mer?"

  457. Naturligtvis är det så att vi som
    lärare behöver skaffa oss verktyg-

  458. -för att få syn på vår undervisning.

  459. Vi måste hjälpa varann, vi kanske
    måste spela in våra lektioner-

  460. -vi måste ha ett underlag för att
    kunna analysera våra lektioner-

  461. -om det är video- eller ljudinspelat
    material vi ska jobba med.

  462. I det här fallet har lärarna
    spelat in med ljud eller video.

  463. Den här kommentaren
    var då ganska naturlig:

  464. "Det var väldigt bra att spela in
    samtalen och lyssna efteråt."

  465. "Det ska jag göra fler gånger
    och i andra klasser."

  466. "Arbetsglädjen och engagemanget
    hos eleverna var stort."

  467. Det var det enda
    som hade betydelse för mig.

  468. För det betyder oerhört mycket
    att ha glädje i sitt arbete-

  469. -och det ska vara lite svårt.

  470. Naturligtvis
    har vi massor med kurser.

  471. Jag ska inte göra reklam för det.

  472. Men jag vill prata lite mer om
    vad vi har för verktyg.

  473. Hur kan vi bära oss åt för att
    få syn på vår egen undervisning?

  474. I samband med TIMSS-studien
    jämförde man undervisningen-

  475. -i Japan, USA och Tyskland.

  476. Då tittade man bl.a. på hur tiden
    användes i de här kulturerna.

  477. Det var väldigt stor skillnad,
    det kunde man konstatera.

  478. Utifrån de studierna har jag själv-

  479. -inspirerad av TIMMS med flera-

  480. -försökt formulera faser
    i problemlösningsprocessen.

  481. De faserna behöver inte vara 40
    minuter, 60 minuter eller en lektion.

  482. Det är inte Polyas faser-

  483. -utan det är lärandefaser
    i en elev-lärande-situation.

  484. Vad eleverna gör och vad läraren gör.

  485. En kritisk fas - men alla faser
    är i nån mening kritiska-

  486. -är att man försäkrar sig om
    att alla elever förstått uppgiften.

  487. Om det nu är att läsa
    om de är läskunniga-

  488. -eller om det är en modell
    ifall de har god syn-

  489. -eller om det är en räknesaga
    om det är mindre barn.

  490. Men man måste förstå
    vad man ska göra.

  491. En fas kallas Idéfasen.

  492. De här finns i min avhandling.
    Där kan ni läsa mer.

  493. I Idéfasen är det viktigt
    att ha en lösningsidé.

  494. Nån matematisk idé. Nån strategi.

  495. Teckna en ekvation, gissa och pröva
    på ett systematiskt sätt.

  496. Göra en enklare uppgift.
    Göra en addition, en subtraktion.

  497. Nånting där man visar
    att man har förstått problemet.

  498. I Lösningsfasen löser man problemet.

  499. Kanske själv, tillsammans med nån-

  500. -eller med hjälp av läraren.

  501. I Redovisningsfasen
    har läraren sin huvuduppgift.

  502. Det handlar om
    att alla ska förstå vad det här var.

  503. Gärna många lösningar, uttrycksformer
    och representationer.

  504. Gärna många
    matematiska resonemang.

  505. Mycket terminologi och kommunikation.

  506. Den sista fasen hittade jag
    egentligen inte i forskningen.

  507. Den finns inte med i min avhandling.

  508. Men vi hade en uppföljande studie -
    RIMA 2. Där hittade jag den fasen.

  509. Reflektionsfasen kan även kallas
    den metakognitiva fasen.

  510. Där får eleverna själva beskriva
    vad de har lärt sig-

  511. -och hur lärandet gick till.

  512. Och gärna kommunicera det
    med kamraterna.

  513. Jag kan även se
    från den här forskningen-

  514. -att lärare och elever har tydliga
    roller i lärandesituationer.

  515. Läraren har en huvuduppgift i
    att skapa tillfällen-

  516. -skapa bra uppgifter
    eller bra problem.

  517. Bra situationer.

  518. Och utnyttja alla lektionens faser
    som lärandesituationer.

  519. Det är lärarens roll.

  520. Elever kommunicerar sitt lärande
    med lärare och kamrater.

  521. Kommunikationen är väldigt
    framskriven i den senaste kursplanen.

  522. Det är också tydligt i gymnasiet-

  523. -att det inte räcker med
    en algebraisk representationsform.

  524. Allting ska också kunna göras på
    ett geometriskt eller grafiskt sätt.

  525. En bild av nåt slag.

  526. Nånting annat jag vill förmedla
    när jag nu har så stor publik...

  527. Kommer aldrig mer hända i mitt liv
    så det gäller att passa på.

  528. Jag kom på
    att läraren tar sig olika roller.

  529. Det här är inte ett sätt
    att klassificera lärare-

  530. -utan vi tar olika roller
    gentemot olika elever.

  531. Jag tror t.o.m. vi försöker läsa av
    vad just den här eleven behöver-

  532. -för att stimuleras i sitt lärande.

  533. Jag önskar att alla lärare
    fick möjlighet att vara nyfikna.

  534. Jag har satt den högst, inte för att
    presentationen ska se snygg ut-

  535. -utan för att jag hyllar
    den kompetensen mest.

  536. Det var Gunnar Sjöberg som fick mig
    medveten om det i sin avhandling-

  537. -där han också lyfte fram
    nödvändigheten av tid för elever-

  538. -som inte uppfattas som
    väldigt snabba i matematik.

  539. Också att jag kan vara
    en nyfiken lärare och fråga elever:

  540. "Vad tycker du att du behöver träna
    på? Vad tycker du att du är bra på?"

  541. Jag kan vara nyfiken på
    elevernas lärande-

  542. -och på elevernas sammanhang
    av lärande.

  543. Bengt Johansson skrev på '80-talet en
    bra artikel om den lotsande läraren.

  544. Det är den tidigaste referensen på
    begreppet "lotsande".

  545. Många lärare lotsar eleverna-

  546. -genom varje fas
    i en lösningsprocess.

  547. Det kan vara bra för nån,
    men inte för en annan.

  548. Man behöver begreppen för att förstå
    sin egen roll som lärare i lärandet.

  549. Vi behöver vara nyfikna och lotsande,
    vi ska vara stöttande och coachande.

  550. Coachande är väl det man är om man
    har matematik och idrott, tror jag.

  551. Vad vet jag? Jag tror det är bra
    med alla lärarroller.

  552. Jag hade en slide,
    men den var inte med nu.

  553. Jag tar det ändå
    för det är ganska viktigt.

  554. Det finns en forskare som har gjort
    det väldigt enkelt att förstå-

  555. -lärares arbete i egen klass.
    Det är Barbara Jaworski.

  556. Hon har en teori som heter Triaden.

  557. Den handlar om
    att jag som lärare ska kunna skapa-

  558. -organisera för undervisning.

  559. Ska kunna se grupper, vad som
    ska hända under den här tiden-

  560. -planera för läxor.
    Organisation för undervisning.

  561. Hon lyfter också fram
    känsla för elever.

  562. Jag ska ha kunskap om
    den lärande individen.

  563. Vad den har för kapacitet.
    Känsla och vilja att förstå eleven.

  564. Den tredje delen av Triaden är
    matematisk förmåga-

  565. -eller matematisk kompetens.

  566. Läraren själv måste veta vilken
    matematik det här ska gå ut på.

  567. Hennes tre delar är
    ett väldigt bra underlag-

  568. -när man ska undersöka
    sin egen undervisning.

  569. Det tycker jag ni ska ta med er när
    ni undersöker er egen undervisning.

  570. Ja... Var det nåt mer jag ville säga?

  571. Jag ska titta på mitt manus
    som jag inte hållit mig till.

  572. Det är väl som vanligt.

  573. Jag kanske skulle kunna få
    lite frågor-

  574. -innan jag frågar
    om ni har lärt er nånting.

  575. Vad som kännetecknar
    ett rikt problem.

  576. Det var 7 saker,
    men jag uppfattade bara 5.

  577. Det var värst. Vilka 7 kriterier
    kännetecknar ett rikt problem?

  578. Har nån en bok så vi kan läsa-

  579. -eller ska jag plocka fram en slide
    där de står?

  580. Det första är
    att det är en matematisk idé.

  581. Att det ska tillåtas ta tid.
    Att det ska vara en utmaning.

  582. Att det ska finnas många sätt
    att lösa problemet.

  583. Att det ska leda till en diskussion.

  584. Att det ska leda till att lärare och
    elever formulerar fler lika problem.

  585. Att det inte ska finnas
    en given lösning.

  586. Det ska finnas många lösningar.
    Det är Lesters tre kriterier:

  587. Utmaning, ingen given lösning
    och många möjliga lösningar.

  588. De finns i min avhandling
    och i en bok som heter nånting.

  589. "Rika Matematiska Problem:
    Inspiration Till Variation".

  590. Gammal bok. Gamla läroplanen.

  591. Men kriterierna är desamma.

  592. -Fick du svar på din fråga?
    -Ja.

  593. Var det nån mer?

  594. Där är en fråga.

  595. Oj.

  596. Nej, du får inte ta det högt.

  597. -Jag springer.
    -Du kan springa lite.

  598. Du sa att x och y ska vara tal
    när man jobbar med ekvationer.

  599. Att det var jätteviktigt.
    Varför är det jätteviktigt?

  600. Därför att jag hör både lärare
    och elever-

  601. -väldigt uttalad missuppfattning om
    att det handlar om äpplen och päron.

  602. I matematik finns inga enheter.

  603. Det kan vara kronor, kilo eller liter
    när man räknar.

  604. Det måste vara samma enheter
    på båda sidor om likhetstecknet.

  605. X och y är tal.

  606. Det är jätteviktigt,
    för matematiken är abstrakt.

  607. Så x är antal femkronor
    och y är antal enkronor-

  608. -om nu "20" är 20 kronor.

  609. Hur många femkronor och enkronor
    är det om jag totalt har 20 kronor?

  610. "20" kan också vara 20 liter.

  611. Hur många femliterskärl
    och enliterskärl behöver jag hälla-

  612. -för att få 20 liter?

  613. Det är det
    som gör matematik abstrakt:

  614. Att jag växlar enheter
    efter vad jag har lust till.

  615. Därför är det väldigt viktigt.

  616. Jaha. Då ska jag be att få tacka.

Hjälp

Stäng

Skapa klipp

Klippets starttid

Ange tiden som sekunder, mm:ss eller hh:mm:ss.

Klippets sluttid

Ange tiden som sekunder, mm:ss eller hh:mm:ss.Sluttiden behöver vara efter starttiden.

Att bedöma problemlösning i matematik

Produktionsår:
Längd:
Tillgängligt till:

"Vi mattelärare använder ordet problem för ofta. Men allt i matteboken kan ju inte vara problem." Eva Taflin, forskare i matematikdidaktik vid Högskolan Dalarna, vrider på begreppen problemlösning, algebra och aritmetik och ställer frågan vad det egentligen innebär att kunna matematik. Taflin menar att det är viktigt att man som mattelärare skakas om. Vi är vana att se tal i en viss ordning. Inte till exempel 20=5x+y, utan tvärtom. "Men det är ju bara traditioner. Vi måste kunna se dem på nya vis." Arrangör: Umeå universitet.

Ämnen:
Matematik, Pedagogiska frågor > Didaktik och metod
Ämnesord:
Matematik, Matematikundervisning, Pedagogik, Pedagogisk metodik, Problemlösning, Undervisning
Utbildningsnivå:
Lärarfortbildning

Alla program i UR Samtiden - Matematik i kubik

Spelbarhet:
UR Skola
Längd:
TittaUR Samtiden - Matematik i kubik

Bedömning av matematiska förmågor

Hur ser de matematiska förmågorna ut i den nya kursplanen? Och hur kan matteprov och andra bedömningsformer utformas? Per Berggren, mattelärare på Trädgårdsstadsskolan i Botkyrka och Maria Lindroth, mattelärare, författare och lärarfortbildare berättar mer.

Produktionsår:
2012
Utbildningsnivå:
Lärarfortbildning
Beskrivning
Spelbarhet:
UR Skola
Längd:
TittaUR Samtiden - Matematik i kubik

Att bedöma problemlösning i matematik

"Vi mattelärare använder ordet problem för ofta. Men allt i matteboken kan ju inte vara problem." Eva Taflin, forskare i matematikdidaktik vid Högskolan Dalarna, vrider på begreppen problemlösning, algebra och aritmetik och ställer frågan vad det egentligen innebär att kunna matematik.

Produktionsår:
2012
Utbildningsnivå:
Lärarfortbildning
Beskrivning
Spelbarhet:
UR Skola
Längd:
TittaUR Samtiden - Matematik i kubik

Begreppsbubblor - en arbetsmetod

Lärarna Karin Andrén och Matilda Östman talar om hur de provat sig fram för att naturligt integrera begreppsbubblor i matteundervisningen.

Produktionsår:
2012
Utbildningsnivå:
Lärarfortbildning
Beskrivning
Spelbarhet:
UR Skola
Längd:
TittaUR Samtiden - Matematik i kubik

En lärare + en elev = Intensivmatte

Görel Sterner, projektledare för Nationellt centrum för matematikutbildning vid Göteborgs universitet, resonerar kring olika former av intensivundervisning och ger en rad konkreta exempel på arbete som pågår på olika skolor. Hon talar också om dyskalkyli och andra matematiksvårigheter.

Produktionsår:
2012
Utbildningsnivå:
Lärarfortbildning
Beskrivning

Mer lärarfortbildning & matematik

Spelbarhet:
UR Skola
Längd
Titta Det handlar om matematik

Vad ska vi ha matten till och varför är den så viktig? Och är vi så dåliga som de sjunkande Pisa-resultaten visar? Hör experter på programmering, galaxbildning, cancerforskning och utmanande mattelektioner diskutera hur vi ska få liv i ett ämne som omges av mycket rädsla och många fördomar. De avlivar bland annat myten om att det finns folk som inte är mattemänniskor. Programledare: Natanael Derwinger.

Spelbarhet:
UR Skola
Längd
Lyssna Lärarrummet

Fyra grundpelare för matematikundervisningen

Eva Björklund utvecklar läromedel i matematik. Hon är även lärare i matematik och NO på Herrgårdsskolan i Göteborg och baserar sin undervisning på fyra grundpelare som hon menar är nödvändiga för en god matematikundervisning. Under en dag följer vi Eva för att få veta mer om dessa grundpelare och om vad det är som får henne att brinna så för matematik.