Titta

UR Samtiden - Inspirerande matematik

UR Samtiden - Inspirerande matematik

Om UR Samtiden - Inspirerande matematik

Två tusen lärare och skolforskare möts för att prata matematik och pedagogik. Utmaningen ligger bland annat i "att hjälpa eleverna att hitta in i matten, att väcka deras lust och intresse". Några av landets bästa föreläsare står på scenen. Några av landets mest entusiastiska mattelärare delar med sig av sina erfarenheter. Föredragen spelades in på Matematikbiennalen på Umeå universitet i februari 2014. Arrangör: Umeå universitet.

Till första programmet

UR Samtiden - Inspirerande matematik : Att lära sig matte med huvudräkningDela
  1. När jag började som lärarutbildare
    på senare delen av 60-talet-

  2. -var huvudräkning nånting man
    lärde sig under lärarutbildningen.

  3. Under fem minuter på varje lektion
    ska man ha huvudräkning.

  4. Det var för att få tyst på eleverna.
    Sen kunde man börja lektionen.

  5. I nästa fas kom först räknestickan-

  6. -och sen kom miniräknare
    som då hette räknedosa.

  7. Då var syftet med huvudräkning
    att med överslagsräkning kolla-

  8. -om det var rimliga svar
    man kom fram till.

  9. Idag ser man på huvudräkning
    som ett sätt att lära sig matematik.

  10. Matematikämnet har en egen struktur.

  11. Den är given och det gäller att få
    eleverna att förstå strukturen.

  12. De operationer som förekommer
    i grundskolan bygger-

  13. -på ett fåtal räkneregler.
    Det är inte som många uppfattar det-

  14. -att det finns massor av regler
    som man måste lära sig och tillämpa.

  15. Följer man det här fåtalet
    räkneregler så blir det rätt.

  16. Räknereglerna gäller inte bara
    för naturliga tal-

  17. -utan även för rationella
    och irrationella tal.

  18. Det man lär sig på lågstadiet
    har man med sig under hela skoltiden.

  19. Det bidrar till att skapa kontinuitet
    i undervisningen.

  20. För en elev som lär sig reglerna
    är steget från naturliga tal-

  21. -till reella tal inte stort.

  22. Det är alltså en generalisering
    av något man redan kan.

  23. Vad skiljer då huvudräkning
    från skriftlig räkning?

  24. Vid skriftlig räkning används algo-
    ritmer, system som alltid fungerar.

  25. Oberoende av hur uppgiften ser ut
    kan man använda samma struktur.

  26. Vid skriftlig räkning skriver man
    ner deloperationer succesivt.

  27. När man gjort en deloperation
    noterar man och avlastar minnet.

  28. Sen börjar man från början igen
    vid nästa deloperation.

  29. Algoritmräkning är alltså lättare att
    hantera än till exempel huvudräkning.

  30. Man behöver inte hålla så mycket data
    i minnet samtidigt.

  31. Vid huvudräkning måste man göra
    alla beräkningar i huvudet samtidigt.

  32. Mycket data ska få plats på en gång.

  33. Därför kan man inte använda
    samma strategi hela tiden.

  34. Man måste lära sig flera strategier.

  35. När man gör en beräkning
    gäller det att välja den strategi-

  36. -som för tillfället passar bäst.

  37. Det är inte samma strategi som är
    den smartaste för varje individ.

  38. Det kan variera.

  39. De flesta av strategierna bygger
    på grundläggande räkneregler.

  40. Om man jobbar på ett förnuftigt sätt
    med huvudräkning-

  41. -kan eleverna förstå reglerna och
    lära sig att resonera om matematik.

  42. Vi ska ta detta systematiskt.

  43. Vi börjar med addition.
    Då är två räknelagar intressanta.

  44. Den kommutativa lagen
    och den associativa lagen.

  45. Det här möter man
    ganska tidigt i skolan.

  46. När man ska räkna uppgiften 2+7
    behöver man inte räkna upp till 9.

  47. Man lär sig ganska tidigt
    att använda den kommutativa lagen-

  48. -även om vi inte vet att det
    heter så. Vi räknar alltså från 7.

  49. Det viktiga är att visa
    att såna här saker kan generaliseras.

  50. Vet man att 2+7 är samma som 7+2
    är det lätt att förstå-

  51. -att 2+17 är lika med 17+2
    och 2+27 är lika med 27+2 o.s.v.

  52. Sen generaliserar man nästa steg.
    Man har uppgifter som 6+58-

  53. -är lika med 58+6.

  54. Då lägger man på en nivå till,
    inte bara räkna från 58.

  55. Nu använder jag smartare strategier.

  56. Jag använder
    den associativa räknelagen.

  57. För eleverna innebär det
    att jag tar 2 från 6 och ger till 58.

  58. Då får jag ett tiotal och då är det
    lättare att utföra talet i huvudet.

  59. Alltså 89+6 är lika med 58+2+4
    är lika med 60+4.

  60. Vi ser på fler exempel.
    Om man har 38+27. Hur gör man då?

  61. Då kan man till exempel ta 2 från 27.

  62. Då blir det 25 över.
    38+2=40...

  63. ...plus 25 ger svaret 65.

  64. Vad är det för operationer
    man använder här?

  65. Förutom associativa lagen
    använder man sig utav-

  66. -uppdelning av talet 7 i 5+2.

  67. Och man använder tiokamraterna:
    2+8=10.

  68. Man lär sig att förutsättningen
    för associativa lagen är-

  69. -att man kan dela upp tal i termer.

  70. Det är en viktig förkunskap. Är man
    säker på detta är man också säker på-

  71. -att använda associativa lagen.

  72. Vi ser på motsvarande
    för multiplikation om en stund.

  73. Vi ser på kommutativa lagen.

  74. 28+96+72.

  75. Den här uppgiften har jag använt
    mycket på lågpresterande elever.

  76. De vill räkna 28+96 i huvudet och
    då är det svårt att hålla resultatet-

  77. -och sen addera 72.

  78. Men inspekterar man uppgiften
    ser man att 28+72=100.

  79. Då har man alltså hundrakamrater.
    Och 100+96=196.

  80. Det viktiga är talet i mitten.
    Det ska vara ett rejält tal.

  81. Har man ett snällt tal i mitten
    kan man lösa uppgiften i alla fall.

  82. En av idéerna med detta är
    att få eleverna-

  83. -att reflektera över vad de gör,
    inte bara räkna och räkna.

  84. Det säger forskningen
    om problemlösning.

  85. Den som är dålig på problemlösning
    sätter igång och räknar och räknar.

  86. Och räknar ofta fel.

  87. Den som är mer slängt
    i problemlösning inspekterar först-

  88. -ser då möjligheter och gör
    kanske en smartare lösning.

  89. Återigen grundläggande operationer
    med addition av tiokamrater.

  90. Man generaliserar i sin tur
    till hundrakamrater.

  91. Repetitioner innebär inte att man ska
    göra samma sak gång på gång.

  92. Man lägger till en liten nivå
    vid varje repetition-

  93. -så man kommer framåt
    samtidigt som man repeterar.

  94. Vi tar fler exempel: 37+41.

  95. Här duger det inte
    att ta 3 från 41 och ge till 37.

  96. Det är smartare att ta 1 från 40
    och få ett jämnt tiotal.

  97. 37+41 är samma som 38+40.

  98. Den här uppgiften då?
    Den känner vi igen.

  99. 48+12 blir 60.

  100. Vi använder kommutativa lagen.
    60+34=94.

  101. I kursplanen pratar man mycket
    om förmågor.

  102. Och hur man kan arbeta
    med många av dessa förmågor.

  103. För det första krävs
    en god taluppfattning.

  104. Till exempel att man behärskar talens
    ordning fram och tillbaka i talraden.

  105. Man ska känna till talens grannar.
    Grannens granne, tiotalsgrannen.

  106. Man ska veta var man befinner sig
    i talraden när man räknar.

  107. Man ska kunna tiotals- och hundra-
    talsövergångar vid naturliga tal.

  108. När man sen kommer till decimaltal
    är det lika intressant-

  109. -att kunna heltalsgrannar,
    tiondelsgrannar, hundratalsgrannar.

  110. Och man måste kunna
    dela upp tal i termer.

  111. Jag ska senare visa generaliseringar.

  112. Från naturliga tal.
    Hur man introducerar en matematik.

  113. Jag ska ta ett skojigt exempel här.

  114. Det knyter an till ämnets historia
    och matematikern Gauss som ung.

  115. Fast vi gör det enklare för oss.

  116. Om man ska dela
    de naturliga talen upp till 10-

  117. -är det jobbigt
    att säga 1+2=3 och 3+3=6.

  118. Använder man den kommutativa lagen
    adderar man första och sista talet.

  119. Det andra talet
    och näst sista talet blir också 11.

  120. Tredje talet
    och tredje sista blir 11.

  121. På det här sättet
    får vi då fem stycken par.

  122. Och varje par innehåller summan 11.

  123. Det betyder alltså
    att svaret är 5x11.

  124. Det är inte detta som är skoj.

  125. Nu ska man börja reflektera.
    Vad händer sen?

  126. Vi kan ta en svårare uppgift
    och närma oss aritmetiska serier.

  127. 2+4+6 fram till 96+98+100.

  128. Det är aritmetiskt samma differens
    mellan två på varann följande termer.

  129. Nu blir 2+100=102.

  130. 4+98=102.

  131. Och 96+6=102.

  132. Vi får på detta sätt 25 par.
    Vart och ett med summan 102.

  133. 25x100=2 500.

  134. Och 25x2=50, alltså 2 550.

  135. Man kan gå ett steg till hela tiden.
    Med detta vill jag visa en annan sak.

  136. Många gånger har vi problem
    med elever som redan kan allt.

  137. De får då hundra
    lika tråkiga uppgifter till.

  138. Man kan bjuda dem på såna här saker
    så de är sysselsatta.

  139. Det blir intressant och de kan ha
    användning för det längre fram.

  140. Då kommer den klassiska frågan:
    Måste man använda dessa lagar?

  141. Ja, det är genom dessa räknelagar
    som det fungerar.

  142. Men självklart kan man
    inte ha förhör med eleverna.

  143. "Vad heter den lagen?"
    "Associativa lagen."

  144. Det här gör man informellt
    med eleverna.

  145. Men för lärarna är det viktigt
    så man kan kommunicera med varann-

  146. -från lågstadiet upp till högstadiet.

  147. Räknelagarna är intressanta.
    Ni får fler exempel längre fram.

  148. De är enkla att konkretisera. Man
    kan ha dem levande för eleverna.

  149. Om man gör eleverna medvetna
    om dessa lagar på ett tidigt stadium-

  150. -och följer upp dem, lägger man
    en viktig grund för senare arbete.

  151. Man får chansen att förstå negativa,
    rationella och irrationella tal.

  152. Och inte minst så småningom algebra.

  153. Ni som lyssnade igår
    känner igen temat.

  154. Då visade vi hur det här ser ut.

  155. Hur det här leder fram till algebran.

  156. Vi går över till subtraktion.

  157. Nu gäller varken den associativa
    eller den kommutativa lagen.

  158. Men för att subtraktionen ska fungera
    härleder man andra räkneregler-

  159. -som bygger på dessa räknelagar.

  160. Dessa fem är de vanligaste:

  161. Ta bort, komplettera, jämföra-

  162. -runda tal och lika tillägg.

  163. Ett par av dem kan man konkretisera
    och generalisera på intressanta sätt.

  164. Eleverna lär sig ofta subtraktion
    som nåt man tar bort.

  165. 9-3. Då tar man bort 3 från 9
    vilket innebär en nedräkning.

  166. 9, 8, 7, 6.

  167. Den metoden kan precis
    som vid addition förfinas efter hand.

  168. Det är inte lämpligt
    att räkna 72-6 på samma sätt.

  169. Alltså sex steg bakåt.

  170. Istället delar man upp 6 i 2+4.

  171. Man tar först bort 2: 72-2=70.

  172. Sen tar man bort 4 och får 66.

  173. Nästa regel är att komplettera.

  174. Nåt som börjar bli allt vanligare
    på lägre stadier är-

  175. -att beräkna 9-7 genom
    att räkna vidare från 7.

  176. 7, 8, 9 i två steg.
    Alltså är differensen 2.

  177. Det här kan man förfina efter hand.

  178. Om man till exempel
    ska beräkna 72-49-

  179. -är det ingen idé
    att räkna 50, 51, 52 och så vidare.

  180. Vi kompletterar på ett smart sätt
    och det finns två alternativ.

  181. Det smartaste tycker jag är
    att addera 3 till 49.

  182. Då får vi samma ental som i 72.

  183. Sen är det bara två tiotal kvar
    till 72.

  184. Differensen är 3+20=23.

  185. Vi ser hur man generaliserar detta.
    Negativa tal är nåt som är svårt-

  186. -för eleverna att uppfatta då de
    faktiskt aldrig lärt sig vad det är.

  187. Ibland undrar jag om alla lärare
    vet det, om ni ursäktar mig.

  188. Om vi nu ska räkna 72-49 igen
    med en öppen utsaga-

  189. -så kan man teckna den som vilket tal
    ska läggas till 49 för att få 72?

  190. Subtraktionen tecknas
    som en öppen addition-

  191. -för att signalera utfyllnad.

  192. Vi generaliserar idén till negativa
    tal och ser på subtraktionen 4-(-2).

  193. Strategin för detta
    lär sig förstaårselever.

  194. Man går från -2
    och sen ska vi addera ett tal-

  195. -så vi får 4.

  196. Man går två steg från -2.
    Då får vi 0.

  197. Och sen fyra steg till.
    Då får vi differensen 6.

  198. Det blir ännu tydligare
    på en tallinje.

  199. Vi ser fler exempel senare.

  200. Nu tar vi strategin jämföra.

  201. Det är samma uppgift: 72-49.

  202. Vi kan jämföra
    med tal som 50 eller 52.

  203. Nu väljer vi 50.

  204. Differensen mellan 72 och 50 är 22.

  205. Differensen mellan 50 och 49 är 1.

  206. Vi delar upp det i två bitar.
    Svaret blir då 22+1=23.

  207. När man arbetar med eleverna
    lär de sig ganska snabbt själva-

  208. -att det handlar om 22 upp
    och ett ner från 50.

  209. Då blir differensen tillsammans 23.

  210. Vi tar en annan uppgift.
    432-397.

  211. Vi kan jämföra med t.ex. 400.

  212. Då är det 32 upp och 3 ner från 400.

  213. Då får vi differensen 32+3=35.

  214. Vi går vidare till runda tal.

  215. Runda tal är typ 50, 100.

  216. När 25-öringen fanns
    var också 25 ett runt tal.

  217. På sin tid var även dussin
    och gross runda tal.

  218. Det är tal som är så frekventa att
    de är lättare att hantera i huvudet.

  219. Det är vardag för oss
    att använda dessa tal.

  220. Vi avrundar till 50.

  221. 72-40 är ungefär lika med...
    Vi gör ett överslag.

  222. Det är 72-50=22.

  223. Vi gör operationen
    och sen korrigerar vi.

  224. "Nej, jag har tagit bort ett
    för mycket."

  225. Är det inte svårt att göra det?
    Nej, detta gör vi dagligdags.

  226. Om jag köper nåt för 49 kronor
    och betalar med 50-lapp-

  227. -så vet jag
    att jag får en krona tillbaka.

  228. Det finns metaforer som stöttar
    de här typerna av strategier.

  229. En strategi som har varit ganska
    ovanlig, men som kommer igen-

  230. -är när man beräknar 72-49
    med "lika tillägg".

  231. Om man adderar samma tal
    till två termer i en subtraktion-

  232. -så förändras inte differensen.

  233. Om man flyttar en talpil
    på tallinjen...

  234. ...blir talpilen inte längre
    och differensen densamma.

  235. 72-49 är lika med 73-50.

  236. Alltså 23.

  237. Den här metaforen är också enkel.
    Mormor är 72 år och mamma är 49 år.

  238. Hur mycket äldre är mormor?

  239. Räkna inte i år, utan vänta ett år
    då mamma fyller jämna år.

  240. Då får vi 73-50=23.

  241. Nästan hela tiden finns det bra
    metaforer som stödjer tänkandet.

  242. Nu ser vi på negativa tal igen.

  243. Vi ser återigen på 4-(-2). Och
    så generaliserar vi på samma sätt.

  244. Om vi adderar 2 till bägge termerna
    ändras inte differensen.

  245. Det är alltså 2 till 4 och 2 till -2.

  246. Då får vi 6+0=6.

  247. Den här typen av uppgifter
    som vållar stora problem i skolan-

  248. -har man lösningsstrategier
    för redan i årskurs 1-

  249. -om man undervisar på ett klokt sätt.

  250. Då kan man det här på högstadiet
    vilket underlättar för läraren.

  251. Det löser några av problemen som
    vår utbildningsminister pratade om.

  252. Här har ni uppgiften på tallinjen.

  253. Den blå pilen är -2 till 4.
    Vi flyttar två steg åt höger.

  254. Samma differens.

  255. Vi tar och generaliserar
    samma tal i decimalform.

  256. Jag hoppas inte att ni
    från Uppsala blir förgrymmade på mig.

  257. Vi gjorde en undersökning i Uppsala
    för fem sex år sen.

  258. Drygt 1 400 elever i årskurs 7 fick
    göra en diagnos på denna uppgift.

  259. Resultatet var att 45 %
    av eleverna missade uppgiften.

  260. Man räknade fel på uppgiften.

  261. Vi har dragit ner på bråkräknandet
    i svensk skola.

  262. Bl.a. för att det inte finns
    i verkligheten, tycker man.

  263. Man går över till decimalformer.

  264. Men man glömmer att räknereglerna
    för tal i decimalform bygger-

  265. -på motsvarande regler
    för bråkräkning.

  266. Många elever saknar idag
    strategier för detta.

  267. Nu använder vi "lika tillägg".

  268. Den andra termen skulle bli
    ett jämnt tal, ett runt tal.

  269. Vi adderar 0,1 till bägge termerna-

  270. -och får då 7,3-4,0 som är lätt
    att beräkna. Det blir 3,3.

  271. Man kan också
    använda strategin jämföra.

  272. Vi kan jämföra med 4,0.
    Då blir det 3,2 upp och 1 ner.

  273. Hela tiden finns
    bra strategier för detta-

  274. -om man lär sig
    att tänka i strategier.

  275. Vi tar ett exempel på undervisning
    i subtraktion och huvudräkning.

  276. Exemplet kommer från högskolan
    i Jönköping och är 30 år gammalt.

  277. Vi har använt det
    i viss litteratur också.

  278. Det är en lärare som inte är särskilt
    duktig på huvudräkning själv.

  279. Går det att undervisa
    i huvudräkning då?

  280. Det är ungefär
    som en opptionsförrättare.

  281. Den behöver inte veta allt den
    säljer, bara den vet priserna-

  282. -och kan locka in de personer
    som har bra bud.

  283. Det gäller att ta ett kliv bakåt
    och lyssna vad eleverna kan.

  284. Jag kan som lärare lära mig
    huvudräkning genom eleverna.

  285. Först får elev 1 frågan.

  286. "Jag tog 15-7. Det blir 8."

  287. "Och sen 7-2 som är 5.
    Så fick jag 58."

  288. Det är rätt svar, men hur
    i herrans namn gjorde ungen?

  289. Det undrar kamraterna också.

  290. Läraren säger inget,
    eleverna ska göra upp.

  291. Det är viktigt för nu får eleverna
    diskutera matematik.

  292. Nu handlar det om förmågor igen.

  293. Elev två får snart problem
    och frågar: "7-2, vadå 7?"

  294. Nu får elev 1 förklara sig.

  295. "Jo, men jag kan ju inte
    ta 7 från 5."

  296. "Så jag tänkte att 85 är ju 70+15.
    Då blir det ju 7."

  297. "Ja, alltså det är ju
    egentligen 70-20 förstås."

  298. Nu får eleven förklara
    för sina kamrater.

  299. Vissa är fortfarande osäkra,
    men då löser elev 3 konflikten.

  300. "Han lånade, förstår du väl?"

  301. De hade inte arbetat
    så mycket med huvudräkning.

  302. De hade inga strategier och eleven
    gjorde alltså en algoritm i huvudet.

  303. Eleven får då en lösning
    för att den kan tänka klart.

  304. Elev 2 som frågade: "Vadå 7-2?"

  305. Den eleven tänker på ett annat sätt.
    Nu är det den eleven som ska agera.

  306. "Men du då. Hur tänkte du?"

  307. "Jag tog först bort 20.
    Då fick jag 65."

  308. "Och sen tog jag bort 7 till."

  309. Han går bakåt i två steg.

  310. Elev nr 4 har en annan idé. Läraren
    har varit inne väldigt tillfälligt.

  311. "Då tycker jag det är bättre att
    ta bort 30 först, så fick jag 55."

  312. "Sen plussade jag 3."

  313. Då blir det protest i klassrummet:
    "Plussa, varför det?"

  314. På den tiden skiljde man
    på räknesätt.

  315. Man såg inte att man med
    viss dynamik kunde lösa uppgiften.

  316. "Plussa, varför det?"
    Nu får elev 4 förklara sig.

  317. "Jo, jag tog ju bort 30 och det är
    ju för mycket. Jag gick för långt."

  318. Man går ner till ett bra tal...

  319. ...men man får korrigera lite.

  320. Det upptäcker elev 2.
    "Javisst, det var fiffigt."

  321. "Jag fick ju räkna 7 till medan han
    bara behövde greja med 3."

  322. Läraren behöver hyfsa språket, men
    det är glasklart vad det handlar om.

  323. På det här sättet kan man
    lära ut huvudräkning.

  324. Man delar tankar med varandra.

  325. Det här ser man
    i japansk undervisning.

  326. Man låter en elev förklara först,
    sen ser man om man får nåt bättre.

  327. Men man säger ju inte bättre
    eller sämre.

  328. För det mesta visar det sig att
    elever köper de här bättre tankarna.

  329. Då frågar många
    om det inte är farligt-

  330. -när en elev har en dålig tankegång.
    Kan inte det skapa förvirring?

  331. Om jag kan tänka på ett bra sätt
    och nån gör det på ett sämre sätt-

  332. -inte sjutton köper jag
    den tanken då.

  333. Däremot om nån är smartare i tanken,
    som i exemplet med elev 4 och 2.

  334. Elev 4 hade en smartare tanke
    och elev 2 köpte in sig på detta.

  335. "Hur skulle du räkna 73-28?"

  336. Läraren gör nåt smart.
    Elev 2 har nu förstått från elev 4-

  337. -att det finns en bättre strategi.

  338. Då ger man eleven en sån uppgift
    för att se om den klarar av den.

  339. En färdighetsträning av nåt nytt.

  340. Det räcker inte att förstå,
    man måste ha en viss färdighet.

  341. Detta måste automatiseras.

  342. "Då skulle jag alltså ta bort 30
    och då blev det...alltså 73-30=43."

  343. "Och sen var det ju 28
    så då blir det 41..."

  344. Eleverna har köpt in sig på det
    första steget att gå för långt.

  345. Men den korrigerar fel.
    Eleven korrigerar åt andra hållet.

  346. Men eleven kommer på det:
    "Nej, nej, fel håll. Det blir 45."

  347. Man lär sig mycket
    om både undervisning och tänkande-

  348. -genom att analysera
    den här typen av intervjuer.

  349. "Men du då, elev 5, hur räknade du?"

  350. "Jag tog nog 23 ner till 50 först."

  351. "Sen var det 22 till
    som skulle tas bort."

  352. Eleven analyserar själv.

  353. "Jag tycker det är bra att hamna på
    nollor. Såna där som slutar på noll."

  354. "Jag liksom ser de talen
    framför mig."

  355. Eleven förklarar
    hur man arbetar med runda tal-

  356. -och hur de underlättar tänkandet.

  357. Vi går över till multiplikation
    och huvudräkning.

  358. Även multiplikation har
    ett antal kända räknelagar.

  359. Det är viktigt att även här
    lyfta fram dessa räknelagar.

  360. Det är den kommutativa, associativa
    och distributiva lagen.

  361. Hur använder man dem
    i huvudräkning?

  362. Vi använder dem i samband
    med strategier:

  363. Runda tal, dubbling,
    distributiva lagen o.s.v.

  364. Och lite mer sofistikerade saker som
    konjugatregeln och kvadreringsregeln.

  365. Vi börjar med 7x99.

  366. Vi börjar med att avrunda till 100.
    Och 7x100=700.

  367. Men då har vi tagit 1
    för lite varje gång.

  368. Vi får korrigera med 7.
    700-7=693.

  369. En lämplig metafor är:

  370. Om man köper 7 saker för 99 kr styck
    och betalar med hundralappar-

  371. -så har jag betalat 700,
    men får 7 tillbaka.

  372. Det mesta av detta går
    att konkretisera.

  373. Dubbling.
    Om man ska beräkna 4x27-

  374. -så är 4=2x2, det vill säga
    jag kan dubbla två gånger.

  375. Ett intressantare sätt är detta:

  376. 4x27 är detsamma som 2x54
    som är lika med 108.

  377. 8x27. Vi dubblar först en gång,
    sen en gång till.

  378. Då får vi 216.

  379. Då tar vi den distributiva lagen.
    6x51.

  380. Lagen ser ut på detta sätt
    och vi delar upp talet 51 i 50+1.

  381. Då får vi 6x50+6x1.

  382. Alltså 300+6=306.

  383. Vi tar den associativa lagen.

  384. Tidigare var det
    hur man delar upp tal i termer.

  385. Här delar man upp tal i faktorer.
    Hur hänger talen ihop?

  386. 100 är samma som 4x25.

  387. Det är relationen mellan 25 och 100.

  388. Då kan man dela upp talet 32-

  389. -i 8x4x25-

  390. -som är samma som 8x(4x25).
    Och då får vi 800.

  391. Man kan också dubbla 25 två gånger.

  392. 32x25=16x50=8x100=800.

  393. Det här är egentligen en förståelse
    för förlängning och förkortning.

  394. Kommutativa lagen.
    Det gäller att först inspektera.

  395. Kan vi hitta nåt intressant?
    Vi känner igen att 25x4=100.

  396. Vi byter alltså ordning på 87 och 4.

  397. Vi får då 25x4x87.

  398. Nu ska vi generalisera detta
    och jag är tillbaka i Uppsala igen.

  399. De 1 500 högstadieeleverna
    fick uppgiften 9x1,5.

  400. Återigen var det bara ca 55 %
    som lyckades lösa uppgiften.

  401. Nu använder vi
    den distributiva lagen.

  402. 9x1,5 är samma sak som 9x(1+0,5).

  403. Det är lättare att tänka en halv
    än 0,5 i det här fallet.

  404. Bråkformen är ofta mycket starkare
    än den decimala formen.

  405. 9x1=9 och 9x0,5=4,5.

  406. Alltså är svaret 13,5.

  407. Man kan även dubbla.

  408. Tar man 8x1,5
    så dubblar man tre gånger.

  409. Då får vi 12
    och sen är det 1,5 kvar. 13,5.

  410. Hela tiden olika varianter.

  411. Behärskar man strategierna hittar man
    lösningar som passar olika individer.

  412. Här är nästa uppgift
    som vållade problem i Uppsala.

  413. Det var bara 45 % som klarade
    uppgiften. Inte ens varannan elev.

  414. Hur fungerar detta
    om vi använder oss av räknelagarna?

  415. 30 delar vi upp i 3x10.

  416. Nu får vi 3x10x0,4.

  417. Associativa lagen ger 10x0,4=4.
    Uppgiften är 3x4=12.

  418. Om man kan strategierna,
    var är problemet?

  419. Vi går lite längre fram i tiden och
    när eleven använt konjugatregeln-

  420. -kan man få eleven
    att konkretisera regeln-

  421. -genom att se på uppgiften 72x68-

  422. -och kopplade det
    till konjugatregeln.

  423. Man kan skriva detta
    som (70+2)x(70-2).

  424. Detta ger då 70x70-2x2.

  425. 4 900-4=4 896.

  426. Den här typen av uppgifter
    använde jag redan på 60-talet-

  427. -vid matematikkliniker.

  428. Ofta de 12-15 galnaste bland 250
    stycken på en stor högstadieskola.

  429. De var lite utbildningsresistenta
    från början.

  430. Jag började med
    att lyfta fram såna här saker.

  431. Ett par av dem tyckte
    att det här var smart.

  432. Då lärde sig de andra också. På den
    tiden fanns allmän och särskild kurs.

  433. De som gick i min grupp gick ut
    på skolgården och skröt-

  434. -för särskildkursarna
    att de kunde räkna så här.

  435. Det ledde i sin tur till att de
    frågade sin lärare hur man gör.

  436. Sen kunde hela skolan det
    och min grupp sa:

  437. "Majjen, du måste lära oss mer."

  438. Då gick vi över
    till kvadreringsregeln.

  439. 45x45. Jag kan berätta
    en liten historia om detta också.

  440. Jag lärde mig detta
    i årskurs 3 eller 4.

  441. Min gamla folkskolelärare
    lyfte fram det här.

  442. Jag är säker på att de flesta
    av mina kompisar också kunde det här.

  443. Hur gör man då?

  444. Kvadreringsregel 1 lyder så här:

  445. a²+b² blir två gånger produkten.

  446. Om vi analyserar 45x45 ser vi att...

  447. ...det blir 40x40+10x40+5x5.

  448. Det här kan eleverna följa.

  449. Men om man tar 40 fyrtio gånger och
    sen tio gånger har man tagit 40x50.

  450. Detta blir alltså 50x40+25.

  451. Då upptäcker man att det var smart.

  452. Ska man ta 45x45 tar man
    de omkringliggande tiotalen.

  453. 40x50=2 000.

  454. Sen lägger man till 25 på slutet.

  455. Det jag upptäckte lite senare var-

  456. -att om entalens summa är 10
    blir det samma sak.

  457. Jag kan lika gärna ta 47x43.

  458. De närliggande talen är alltså
    40 och 50 som blir 2 000.

  459. Sen multiplicerar jag 7x3 som är 21.

  460. Det sista gjorde jag inte
    i mattekliniken.

  461. Den övre varianten var nästa fas.

  462. De satte press på sig själva
    att lära sig mer matematik.

  463. Vi tar det en gång till
    för säkerhets skull. 75x75.

  464. De omgivande talen är 70 och 80.

  465. 70x80 är 5 600.

  466. Plus 25.

  467. Vi gör likadant med 78x72.

  468. Samma tiotal,
    summan av entalen är 10.

  469. Vi har 80x70= 5 600.

  470. 8x2=16. Svaret blir 5 616.

  471. Det är lite mer avancerat,
    men eleverna är ju lite äldre nu.

  472. De tyckte det var spännande
    att göra sånt här.

  473. Tiotalen måste vara lika
    för att det ska fungera.

  474. Och entalens summa måste bli 10.

  475. Vi går vidare till division.

  476. För det mesta lär sig eleverna
    delningsdivision.

  477. Som huvudräkning är delningsdivision
    en dålig strategi.

  478. Innehållsdivision är oftast
    en mycket mer framgångsrik strategi.

  479. Övriga strategier är
    "dubbelt hälften", "division med 10"-

  480. -distributiva lagen
    i formen (a+b)/c=a/c+b/c.

  481. Den som inte gillar termen
    kan istället tänka:

  482. 1/cxa+b, så blir det distributiva
    lagen fast med andra tecken.

  483. Sen har vi uppdelning av termer i
    faktorer som är nyckeln till mycket.

  484. Då ska vi räkna 112/4.

  485. Vi kan börja med att halvera.
    11/4=56.

  486. Det är samma som 56/2=28.

  487. Dubbel halvering.

  488. Hur mycket är en ¼ av 0,16?

  489. Det är färre elever än ni tror
    som klarar detta på högstadiet.

  490. Man tror att man är inne
    på bråkräkning.

  491. Men ¼ av 0,16 betyder inget annat
    än 0,16/4.

  492. Problemet är att 0,16 är
    ett dåligt sätt att uttrycka allt på.

  493. Det borde heta sexton hundradelar
    som det heter på vissa kulturspråk.

  494. ¼ av 0,16 är samma som...

  495. ...hälften av 0,08
    som alltså är 0,04.

  496. 125/5.

  497. Är man smart så förlänger man
    med två och får 250/10.

  498. Och så förkortar vi med 10.

  499. Det finns såna strategier
    som alltid fungerar. Svaret är 25.

  500. 260/20.

  501. Förkorta först med 10 så är det lätt
    att sen förkorta med 2 och vi får 13.

  502. Vi tar 612/6 och tänker
    att elever säkert inte klarar det.

  503. Om vi funderar på
    hur talet är uppbyggt. 612...

  504. Vi ser att både 6 och 12
    är delbara med 6.

  505. Vi delar upp det i 600+12.

  506. 600/6=100 och 12/6=2.

  507. Vi tar en sån till. 207/9.

  508. Funderar vi en stund ser vi
    att 20x9=180.

  509. Då blir det 27 kvar.
    Vi ser det som 180+27.

  510. Vi dividerar dem var för sig.
    180/9=20 och 27/9=3.

  511. Det går ju inte på lågstadiet precis-

  512. -men den som är slängd i
    huvudräkning kan lätt använda detta.

  513. Detta är överkurs.

  514. Vi kan ta 20x19 först. Det är 380.

  515. Då blir det 20 kvar
    och vi delar upp det i 19+1.

  516. Det går att räkna ut detta också.
    Vi får 20+1.

  517. Det blir 1 över
    eller en niondel om man så vill.

  518. När man ska dividera är det bra
    att känna till talets delare.

  519. Det gäller även om man ska förkorta.

  520. Går talet att förkorta eller inte?

  521. Kan man de enklaste reglerna
    om talets delbarhet-

  522. -är det ganska lätt att genomskåda
    om det går att förkorta.

  523. Här är en av klassikerna
    från årskurs 3.

  524. Då hade man ingen miniräknare
    till hjälp.

  525. Man fick kolla att man räknade rätt
    med hjälp av nioprovet.

  526. Vi ser hur detta fungerar.

  527. Talet 492
    har siffersumman 4+9+2=15.

  528. Då är talet delbart med 3.

  529. Dessutom är det ett jämnt tal
    och delbart med 2.

  530. Och är det både delbart med 2 och 3
    är det även delbart med 6.

  531. 494 har siffersumman 4+9+4=17.

  532. 17 är inte delbart med 3.

  533. Man får en rest på 2.

  534. Om man dividerar 494 med 3
    får man resten 2.

  535. Hade det varit 15 hade det gått upp.

  536. Nu är det 2 mer än 15 -
    alltså blir resten 2.

  537. Nu är vi inne på moduloräkning
    om vi ska prata matematik.

  538. Vi tar talet 495. Siffersumman är 18.

  539. Talet är alltså delbart med 09.

  540. Talet slutar på 5 och är delbart
    med 5. Talet är delbart med 45.

  541. Vi kan också säga
    att divisionen 648/12 går upp-

  542. -eftersom både 600
    och 48 är delbara med 12.

  543. Man kan ta det styckvis och se
    att det är delbart med 3 och det 4.

  544. Den här divisionen går också upp-

  545. -eftersom både 420 och 42
    är delbart med 14.

  546. Man kan också säga
    att det är delbart med 11.

  547. Men det förutsätter
    att man kan lite mer.

  548. Nu ska vi generalisera det här.

  549. Det är en uppgift som elever
    i Sverige har mycket svårt för.

  550. Vi har gjort undersökningar på upp
    till 6 000 elever i årskurs 8.

  551. De har gjort den här typen
    av uppgift.

  552. Det brukar vara 35 %
    som räknar rätt i uppställning.

  553. Varför blir det fel i uppställning?
    Det som vi kallar kort division...

  554. Det var ett dåligt sådant exempel
    och det håller inte positioner.

  555. Eleverna får den här uppgiften
    till 1,6.

  556. Vi gör det med huvudräkning.

  557. 6,36/6. Vi uttrycker detta
    på ett bättre språk.

  558. Det står 6 hela och 36 hundradelar.

  559. 6 genom 6 är ett och 36 hundradelar
    genom 6 är 6 hundradelar.

  560. Svaret är alltså inte 1,6 utan 1,06.

  561. Här är en annan uppgift
    som många stupar på.

  562. Vi delar även upp den i två steg.

  563. 10+0,05, alltså 5 hundradelar,
    dividerat med 5.

  564. Det är alltså 2 hela och 1 hundradel.

  565. Här är nästa uppgift
    som vållar problem-

  566. -genom att eleverna inte uppfattar
    det som innehållsdivision.

  567. Vi börjar med
    att resonera lite grann.

  568. Vi vet att 10x0,1=1.

  569. Då är alltså 1/0,1=10.

  570. Vi utnyttjar relationen
    mellan multiplikation och division.

  571. Om 1/0,1=10
    måste 5/0,1 vara 5 gånger mer.

  572. Man kan också tänka sig
    innehållsdivision.

  573. Vi gör en konkretisering av det hela.

  574. Hur många deciliter går det
    på 5 liter?

  575. Det går 10 deciliter på en liter,
    alltså 50 deciliter på 5 liter.

  576. När man analyserar såna här uppgifter
    upptäcker man att elever är dåliga-

  577. -både på att arbeta
    med decimaltal och mätning.

  578. Man har svårigheter med enhetsbyten.

  579. Passa på att liera dessa saker.
    De hänger ihop.

  580. Vi har ett alternativ.

  581. Skriv om det så man får
    lika många heltal och tiondelar.

  582. 5,0/0,1.

  583. Förlänger man
    med 10 får man 50/1=50.

  584. Ännu smartare med associativitet.

  585. Skriv om 5 som 50x0,1.

  586. Skriv om med samma enhet
    som i nämnaren.

  587. Då får vi 50x0,1/0,1=50.

  588. Vi gör en sammanfattning.
    Det här är inget märkvärdigt.

  589. Detta går att undervisa om
    och man kan börja tidigt.

  590. Det gäller då
    att följa upp hela tiden-

  591. -och göra det mer abstrakt
    ju högre upp man kommer-

  592. -så det sen i sin tur
    bildar ett underlag-

  593. -för att förstå algebran.

  594. Det här utvecklar också förmågan
    att välja strategier när man räknar.

  595. Börja inte räkna direkt utan fundera:
    "Vad kan jag? Vad är möjligt?"

  596. Förmåga att använda och analysera
    matematiska begrepp.

  597. Att föra och följa
    matematiska resonemang.

  598. Och att använda
    matematikens uttrycksformer.

  599. Ni känner igen detta
    från syftena i kursplanen.

  600. Det här måste vi satsa på om vi
    vill vända dagens negativa trend.

  601. Vi vill inte ha samma resultat
    som på TIMSS och PISA.

  602. Då ska ni ha tack för detta.

  603. Textning: Karin Hagman
    www.broadcasttext.com

Hjälp

Stäng

Skapa klipp

Klippets starttid

Ange tiden som sekunder, mm:ss eller hh:mm:ss.

Klippets sluttid

Ange tiden som sekunder, mm:ss eller hh:mm:ss.Sluttiden behöver vara efter starttiden.

Att lära sig matte med huvudräkning

Produktionsår:
Längd:
Tillgängligt till:

För att kunna räkna i huvudet måste man lära sig en mängd strategier och välja den som passar bäst för situationen. Det säger Wiggo Kilborn, lärarutbildare. Men det är inte säkert att samma metod passar alla individer. Inspelat i februari 2014. Arrangör: Umeå universitet.

Ämnen:
Matematik, Pedagogiska frågor > Didaktik och metod
Ämnesord:
Matematikundervisning, Matematiskt tänkande, Pedagogik, Pedagogisk metodik, Undervisning
Utbildningsnivå:
Lärarfortbildning

Alla program i UR Samtiden - Inspirerande matematik

Spelbarhet:
UR Skola
Längd:
TittaUR Samtiden - Inspirerande matematik

Bedöma kunskaper med diagnosverktyget Diamant

Diagnosmaterialet Diamant spänner från årskurs 1 till 9. Det är tänkt som ett stöd att hjälpa lärarna bedöma eleverna, men också som en hjälp att planera undervisningen. Madeleine Löwing, konstruktör av Diamant och Maj Götefelt, undervisningsråd vid Skolverkets enhet för prov och bedömning, förklarar hur materialet är uppbyggt. Inspelat i februari 2014. Arrangör: Umeå universitet.

Produktionsår:
2014
Utbildningsnivå:
Lärarfortbildning
Beskrivning
Spelbarhet:
UR Skola
Längd:
TittaUR Samtiden - Inspirerande matematik

Att laborera med matte i datorn

Med hjälp av datorn kan eleverna aktiveras och begripa matematiken från ett annat håll. Bengt Aspvall, professor i datalogi, visar hur det går att arbeta praktiskt och lekfullt med matten i klassrummet. Inspelat i februari 2014. Arrangör: Umeå universitet.

Produktionsår:
2014
Utbildningsnivå:
Lärarfortbildning
Beskrivning
Spelbarhet:
UR Skola
Längd:
TittaUR Samtiden - Inspirerande matematik

Detta krävs för bra, formativ bedömning

Man kan alltid bli bättre, hur bra man än undervisar. Det säger matematikforskaren Torulf Palm. Men vad ska man utveckla? Hans förslag är formativ bedömning, som enligt många forskare är ett av de mest effektiva sätten att öka elevernas kunskaper. Inspelat i februari 2014. Arrangör: Umeå universitet.

Produktionsår:
2014
Utbildningsnivå:
Lärarfortbildning
Beskrivning
Spelbarhet:
UR Skola
Längd:
TittaUR Samtiden - Inspirerande matematik

Resonera och kommunicera i matte

Matematik är ett språk man utvecklar hela livet. Lär man sig ett nytt språk får man ett ökat självförtroende. Pernilla Tengvall och Hanna Almström, båda NO- och mattelärare, talar om fem strategier för ett formativt förhållningssätt där ett gott gruppklimat och delaktighet är några av hörnstenarna. Inspelat i februari 2014. Arrangör: Umeå universitet.

Produktionsår:
2014
Utbildningsnivå:
Lärarfortbildning
Beskrivning
Spelbarhet:
UR Skola
Längd:
TittaUR Samtiden - Inspirerande matematik

Vilka elever behöver särskilt stöd i matte?

Vad behöver man tänka på när man har en elev med särskilda behov i klassrummet? Inkludering socialt och didaktiskt är särskilt viktigt. Helena Roos, lärare vdi Linnéuniversitetets speciallärarprogram, och Anette Bagger, lärarutbildare vid Umeå universitet, berättar om sina erfarenheter. Inspelat i februari 2014. Arrangör: Umeå universitet.

Produktionsår:
2014
Utbildningsnivå:
Lärarfortbildning
Beskrivning
Spelbarhet:
UR Skola
Längd:
TittaUR Samtiden - Inspirerande matematik

Att lära sig matte med huvudräkning

För att kunna räkna i huvudet måste man lära sig en mängd strategier och välja den som passar bäst för situationen. Det säger Wiggo Kilborn, lärarutbildare. Men det är inte säkert att samma metod passar alla individer. Inspelat i februari 2014. Arrangör: Umeå universitet.

Produktionsår:
2014
Utbildningsnivå:
Lärarfortbildning
Beskrivning
Visa fler

Mer lärarfortbildning & matematik

Spelbarhet:
UR Skola
Längd
Titta Livets hårda skola

Vuxenvärlden

Vilket ansvar har de vuxna i lärandet? Hur är man en bra vuxen förebild och hur hanterar man relationen till ett barn? Hur tänker läraren Petra som har ett så enormt ansvar? Musse går till botten med hur han själv var som liten genom att fördjupa sig i sin relation till sin pappa. Genom en elev får han också uppleva engagerade föräldrar med en positiv hem- och lärandemiljö.

Spelbarhet:
UR Skola
Längd
Lyssna Lärarrummet

Einstein fattade inte heller allting

Mathivation bygger på idén att coacha fram utvalda elever i matematik och pedagogik så att de själva så småningom kan hålla lektioner inför andra elever. Vi är med när sjätteklassarna på Sandsbro skola i Växjö får en inspirationsföreläsning i matematik av 16-årige Adnan. Adnans budskap är att det är motståndet i svåra uppgifter som ger framsteg, att det är bra att inte fatta någonting.