Titta

UR Samtiden - MA/NV-biennetten 2015

UR Samtiden - MA/NV-biennetten 2015

Om UR Samtiden - MA/NV-biennetten 2015

Föreläsningar från årets MA/NV-biennette. Evenemanget är en konferens för lärare från förskolan till gymnasiet. Ny pedagogisk forskning och aktiviteter och experiment som kan göra undervisningen i matematik, naturvetenskap och teknik mer intressant presenteras. Inspelat den 31 januari 2015 på Stockholms universitet. Arrangör: Stockholms universitet.

Till första programmet

UR Samtiden - MA/NV-biennetten 2015 : Fokus på matematiska tröskelbegreppDela
  1. Roligt att se er här allihopa.
    Jag ska under den här timmen-

  2. -försöka berätta lite grann om
    vad ett matematiskt begrepp är-

  3. -hur man kan se på hur det utvecklas
    en begreppsuppfattning-

  4. -och lite grann om det som inte helt
    är formulerat som begreppsförmåga-

  5. -men det från kursplaner som vi
    brukar prata om som begreppsförmåga.

  6. Att det för vissa begrepp kan vara
    svårt att utveckla förståelse.

  7. Att det är som en tröskel
    att ta sig över.

  8. Jag är gymnasielärare från början-

  9. -men har de flesta åren i min karriär
    jobbat i Skövde-

  10. -och undervisat blivande ingenjörer
    i matematik.

  11. 2009 kom jag hit efter att ha
    disputerat i matematikdidaktik-

  12. -och har sen dess jobbat här
    med forskning, lärarutbildning-

  13. -master- och magisterkurser
    och -arbeten.

  14. Är det så att ni vill ha
    presentationen kan ni mejla mig.

  15. Ni har min mejladress på bilden
    och jag visar den igen senare också.

  16. Vad är ett begrepp egentligen?

  17. Ja, vi skulle kunna säga
    att det är en slags klassificering.

  18. Man kan sortera knivar och gafflar.

  19. Det är inte alldeles självklart
    vad som är en kniv och en gaffel-

  20. -men vi gör nån slags kategorisering
    av vad vi menar-

  21. -när vi pratar om en gaffel
    eller en kniv.

  22. Pratar vi om matematiska begrepp
    är de mycket mer abstrakta.

  23. Det är nån slags abstrakt idé
    som vi använder-

  24. -som våra begrepp.

  25. Man kan säga att vi systematiserar
    och generaliserar och abstraherar ut-

  26. -ett begrepp från en matematisk idé.

  27. Så ett matematiskt begrepp är
    en mänsklig tankekonstruktion.

  28. Man brukar prata om begreppsbildning-

  29. -när det i matematikens historia
    har uppstått nya begrepp.

  30. Sen ska våra eleverna ta del av dem
    och utveckla sin förståelse för dem.

  31. Men när vi abstraherar en sån här idé
    behöver vi-

  32. -nån representation för att tala om:
    vad är det för idé vi pratar om?

  33. Vi kan representera den
    med ett namn på begreppet-

  34. -eller en bild
    eller en matematisk symbol.

  35. Man skulle kunna säga att ett begrepp
    är ett innehåll med en etikett.

  36. Ett begrepp kan vara
    ett matematiskt objekt.

  37. En triangel är ett exempel på
    ett matematiskt objekt.

  38. Vi kan också säga att operationer och
    egenskaper kan uppfattas som begrepp.

  39. Vi kan till exempel prata om
    operationen multiplikation-

  40. -och en egenskap för månghörningar,
    regelbundenhet-

  41. -och se det som ett begrepp.

  42. De första jag brukar tänka på
    är de matematiska objekten-

  43. -men det är viktigt för våra elever
    att också utveckla-

  44. -en förmåga och en förståelse för-

  45. -operationer och egenskaper.

  46. När man har ett matematiskt begrepp
    bottnar det i en formell definition.

  47. Det är inte alltid vi i skolans värld
    pratar om den formella definitionen-

  48. -men den finns och preciserar
    det som utmärker begreppet.

  49. Ibland är det en uppräkning
    av egenskaper-

  50. -men det kan också vara andra sätt
    att beskriva begreppet.

  51. Man kan uttrycka det språkligt-

  52. -och det kan vara olika idéer
    som ligger till bas för definitionen.

  53. Hur som helst måste definitionen
    särskilja begreppet från andra.

  54. För triangeln får definitionen inte
    inkludera rektanglar.

  55. Vi måste kunna särskilja dem.

  56. Man kan säga att,
    genom matematikhistorien-

  57. -kan man se att definitioner
    har förändrat sig över tid.

  58. Man har haft enklare definitioner
    som sen har blivit mer stringenta.

  59. Särskilt gäller det när vi rör oss
    i den något högre matematiken.

  60. Kom ihåg det, att våra begrepp
    är mänskliga konstruktioner.

  61. De är nånting
    som vi matematiker har skapat-

  62. -för att de är funktionella för oss.

  63. När det handlar om hur jag
    eller en elev uppfattar ett begrepp-

  64. -då handlar det om att individen
    gör en tolkning av begreppet.

  65. Man kanske möter begreppet
    genom flera olika representationer-

  66. -och gör sig en bild, en tolkning av
    vad begreppet står för.

  67. Man tolkar den här etiketten:
    vad motsvarar det för innehåll?

  68. Individens begreppsuppfattning är-

  69. -all den kunskap som individen
    förknippar med begreppet.

  70. Ibland kanske inte allt är korrekt-

  71. -och framför allt är det
    kanske inte fullständigt.

  72. Kan nån en definition handlar det
    också om att tolka definitionen-

  73. -och då innefattas det också
    i begreppsuppfattningen.

  74. Två av de riktigt stora
    matematikdidaktiska forskarna-

  75. -presenterade redan på 80-talet
    en teori-

  76. -eller ett sätt att prata om
    en individs begreppsuppfattning.

  77. David Tall och Shlomo Vinner använde
    benämningen "concept image".

  78. På svenska brukar det vara ordet
    begreppsbild som används.

  79. De menar den kognitiva struktur
    som är associerad med ett begrepp.

  80. Man pratar alltså om vad en individ
    har för kognitiv struktur-

  81. -som kopplas till det här.

  82. På 80-talet fokuserade
    matematikdidaktik på kognitiva saker-

  83. -och man funderade på
    hur det fungerade.

  84. Man skulle kunna säga
    att concept image-

  85. -består av alla tolkningar
    och all förståelse individen har.

  86. Man kan kalla det en liten påse-

  87. -där man innefattar alla egenskaper,
    alla tolkningar, alla processer-

  88. -man förknippar med begreppet.

  89. Även mentala bilder, figurer, grafer
    och så vidare.

  90. Det är nånting man som individ
    bygger upp successivt.

  91. Genom att man möter begreppet
    lägger man till fler exempel-

  92. -fler uttryckssätt, fler symboler
    som man förknippar med begreppet.

  93. Ett sätt att utveckla sin uppfattning
    är att fylla på sitt concept image.

  94. Man ska komma ihåg att
    trots att jag, eller en elev-

  95. -har en massa saker
    förknippade med ett begrepp-

  96. -kan det hända
    att när man möter begreppet-

  97. -är det bara vissa delar
    av concept image-

  98. -som man aktualiserar och använder.

  99. Kanske beroende på vad man tror
    förväntas av en i klassrummet-

  100. -eller i middagsbordsdiskussionen.

  101. Det kanske är olika saker
    om det är läraren som frågar-

  102. -eller om det är småsyskonen
    som frågar.

  103. Man kanske plockar fram olika saker.

  104. Mycket forskning tittar på
    hur elever uppfattar begrepp-

  105. -både i matematik och i andra ämnen.

  106. Många studier i naturvetenskap visar
    hur elever uppfattar begrepp.

  107. Tyvärr visar de att eleverna inte har
    de uppfattningar-

  108. -som vi förväntar oss
    att de skulle ha.

  109. De uppfattar begreppen
    på nåt annat sätt.

  110. Många menar att missuppfattningarna
    inte behöver utgöra nåt problem.

  111. I stället för att
    titulera dem missuppfattningar-

  112. -bör vi se dem som nåt slags försteg.

  113. En väg in. Nånting som kan utvecklas.

  114. Så funderar jag när jag tittar på
    hur elever uppfattar begrepp.

  115. Vad finns det för potential
    i deras synsätt?

  116. Hur kan man gå vidare
    för att bygga begreppsförståelsen-

  117. -för att skapa ett concept image
    som har fler delar-

  118. -som gör
    att begreppsförståelsen ökar?

  119. Det finns flera teorier om hur man
    utvecklar sin begreppsförståelse.

  120. Det finns en teori
    som kallas conceptual change-

  121. -som betyder att en individ har
    en viss förståelse för ett begrepp.

  122. Man förstår det på ett visst sätt.

  123. En trekant kanske måste
    bara ha spetsiga vinklar.

  124. Triangel kanske vi vet att det heter-

  125. -men vi tänker oss en idealbild,
    ungefär den jag ritade.

  126. Det innefattar inte riktigt
    alla trianglar.

  127. Men när man möter begreppet
    i skolans undervisning-

  128. -är idén att man ska byta ut
    den här provisoriska förståelsen-

  129. -mot en bättre förståelse,
    i meningen-

  130. -mer lik den vetenskapliga
    eller formella definitionen-

  131. -som vi har för ett begrepp.

  132. Men det visar sig vara svårt.
    Man har gjort studier-

  133. -på fysikstudenter på universitet
    och frågat dem om kraftbegreppet-

  134. -och upptäcker att de har
    samma förståelse-

  135. -som när man frågar tioåringar.
    Vad händer när man skjuter en puck?

  136. Den fortsätter,
    för den har liksom en motor i sig.

  137. Har de läst fysik på universitet
    vet de egentligen-

  138. -att så ser det inte ut
    om vi följer Newtons lagar.

  139. Ett föremål i rörelse
    vill behålla sin rörelse-

  140. -om inte några krafter motverkar.

  141. Det ledde Ola Halldén,
    som är professor i pedagogik-

  142. -till att presentera en teori.

  143. Det man gör är egentligen inte
    att byta ut en förståelse-

  144. -utan man lär sig en förståelse till.
    Ett sätt till att se på begreppet.

  145. Man lär sig också
    i vilket sammanhang man ska använda-

  146. -vilken typ av förklaring.

  147. Man kan differentiera
    mellan olika förklaringsmodeller-

  148. -men de gamla förklaringsmodellerna
    ligger oftast kvar.

  149. Känner ni igen det? Ja?

  150. Jag var med om en hockeytränare
    en gång.

  151. Han försökte få i grabbarna:

  152. "Täck skottet tidigt, innan pucken
    har fått upp hög hastighet."

  153. Ja, just det.

  154. Det är de gamla förståelserna
    som ligger kvar.

  155. Det var ett fysikaliskt begrepp.

  156. Pratar vi om matematiska begrepp
    är det en annan aspekt av begreppen-

  157. -som många forskare
    har försökt skapa teorier runt.

  158. Det finns många matematiska begrepp
    som har flera sätt-

  159. -att användas på
    eller flera sätt att förstå dem på.

  160. Dubinsky pratar om
    att begrepp kan uppfattas som-

  161. -en action, nåt man gör,
    eller en process-

  162. -eller ett objekt
    eller som ett schema.

  163. Vi kan tänka...barn som räknar.

  164. Riktigt små barn
    räknar liksom med hela kroppen.

  165. Sen lär man sig
    en slags additionsprocess.

  166. Sen förstår man att
    även det som ser ut som-

  167. -nåt som skulle kunna bli en addition
    kan vara färdigt, ett objekt i sig.

  168. Två plus sex behöver inte betyda
    att jag ska utföra processen.

  169. Jag kan också se två plus sex
    som ett objekt.

  170. En uppdelning av talet åtta.

  171. Sen lär man sig att koppla ihop
    objekt i en schematisk struktur.

  172. En annan matematikdidaktisk forskare,
    Anna Sfard-

  173. -pratar framför allt om övergången
    från process till objekt.

  174. Hon pratar om matematiska begrepp,
    till exempel funktionsbegreppet-

  175. -som man ju möter
    i högstadiet och gymnasiet-

  176. -och sen är det en viktig del
    i all matematik, skulle jag säga.

  177. Där börjar man ofta med en process.

  178. Man stoppar in ett x-värde
    och ut kommer ett y-värde.

  179. Men för att eleverna sen ska använda
    funktionerna i andra operationer-

  180. -till exempel in i en integral-

  181. -då krävs det att de kan uppfatta
    funktionen som ett objekt i sig.

  182. Man behöver objektifiera.

  183. Ibland behöver man se processen,
    ibland objektet.

  184. Den övergången kallar Anna Sfard
    för reifikation.

  185. David Tall tillsammans med
    en annan kollega myntade-

  186. -benämningen "procept".
    I det kopplade han ihop process-

  187. -och den engelska benämningen
    på begrepp, "concept".

  188. Både process och objekt
    skulle vi kunna säga-

  189. -på en och samma gång.
    Man måste kunna växla snabbt emellan.

  190. Han menar att
    ett framgångsrikt matematiskt arbete-

  191. -kräver att man kan
    jobba med begrepp så.

  192. Ja, så begrepp kan uppfattas
    som processer och som objekt.

  193. Vad betyder det? Ni ska få fundera
    och prata med varandra om:

  194. Tänk på nåt begrepp
    man kan se som en process.

  195. Hur skulle man kunna se det
    som ett objekt?

  196. Vad har vi för begrepp?
    Det kan ni börja med.

  197. Är de en process eller ett objekt?
    Prata med grannen i nån minut.

  198. Ja, vi ska om vi kan få höra lite.
    Om nån kan säga nånting?

  199. Nåt exempel på ett begrepp man kan se
    som process eller objekt...

  200. Jag har mikrofon här.
    - Vad pratade ni om, ni som satt där?

  201. Vi pratade om area.

  202. Om man tittar på en lägenhetsannons
    kan det vara en lägenhet är 58 kvm.

  203. Det blir ett objekt,
    som man kan förstå-

  204. -men att räkna ut en area
    och olika geometriska formers area-

  205. -och att det finns olika enheter.
    Hur processen är att enhetsförvandla.

  206. Okej. - Nåt mer exempel?
    Area har vi som ett exempel.

  207. Medelvärde. Hur man gör
    för att beräkna-

  208. -säg medelvärde på månadspeng
    och samtidigt är det ett objekt.

  209. Man kanske har 1,2 barn per par,
    till exempel.

  210. Att förstå vad medelvärde står för
    och uppfatta det som en enhet-

  211. -som en helhet, som ett objekt i sig.

  212. Jag tror att ni hade fler idéer,
    fast ni inte vill dela med er av dem.

  213. Det där är nånting
    man kan fortsätta fundera på-

  214. -när man tittar på
    och planerar nästa lektion.

  215. "Är det några begrepp här?
    Är de processer eller objekt?"

  216. En annan sak man kan använda
    som funderingsram-

  217. -det är skillnaden mellan
    procedurell och konceptuell kunskap.

  218. Det är inte samma som om ett begrepp
    uppfattas som process eller objekt-

  219. -men självklart
    har de beröringspunkter.

  220. När Hiebert på 80-talet började nämna
    procedurell kunskap-

  221. -definierade han det
    som kunskap om regler och procedurer.

  222. Det är ju ganska självklart.
    Han definierade konceptuell kunskap-

  223. -som kunskap rik på kopplingar
    som utgör en sammanhängande väv.

  224. Utan att veta nåt om vad matematik är
    eller hur undervisning fungerar-

  225. -tror jag att alla här kan tala om
    vilken vi eftersträvar.

  226. Den ena definitionen är så positivt
    formulerad: "rik", "sammanhängande"-

  227. -medan den andra är mer rakt på.
    Vissa forskare har kritiserat det.

  228. Man tycker det blir problematiskt
    när vi har en så ojämlik definition.

  229. En annan forskare, Star,
    presenterade en artikel-

  230. -där han framför förslaget
    att vi borde använda-

  231. -en annan definition av konceptuell,
    med samma definition av procedurell.

  232. Han tycker att vi skulle prata
    om kunskap om begrepp och principer-

  233. -när vi pratar om
    konceptuell kunskap.

  234. Han säger att det skulle innebära-

  235. -att båda kunskaper
    skulle kunna vara-

  236. -antingen djupa eller svaga.

  237. Vi skulle kunna ha
    en djup procedurell kunskap-

  238. -som nåt som i sig är bra.

  239. Kanske inte nog, men bättre än
    en svag procedurell kunskap.

  240. Vi skulle kunna prata om det
    när det gäller konceptuell kunskap-

  241. -och då se svag konceptuell kunskap
    som ytlig kunskap om begrepp.

  242. Genom att få en balans
    mellan definitionerna-

  243. -kan vi prata om
    en gradering av båda.

  244. Det här utnyttjades vidare
    i en modell-

  245. -för hur man utvecklar
    procedurell och konceptuell kunskap.

  246. En forskargrupp
    av Baroody, Johnson och Feil...

  247. De har pratat om hur man skulle kunna
    se på begreppsutveckling.

  248. De bygger upp en teoretisk modell.

  249. Det är inget som de kommer fram till
    utifrån en empirisk studie.

  250. Det är ett sätt att tänka runt
    hur begreppsutveckling kan gå till.

  251. Man kan börja med svaga procedurella
    och konceptuella kunskaper-

  252. -och de är oftast inte kopplade
    till varandra-

  253. -utan lever separata liv.

  254. Sen utvecklar vi procedurella
    och konceptuella kunskaper-

  255. -och skapar kopplingar emellan.

  256. Vartefter stegen går
    får vi djupare och djupare-

  257. -både procedurella och konceptuella
    kunskaper, mer kopplade till varann.

  258. Man kan se de fem punkterna
    som ögonblicksbilder-

  259. -i en mer kontinuerlig utveckling.

  260. De beskriver den
    med det här diagrammet-

  261. -där vi på första axeln pratar om-

  262. -hur starkt kopplade
    är kunskaperna till varandra-

  263. -och vi på andra axeln pratar om
    hur stor kunskapsmängd har vi.

  264. Sen har vi de fem ögonblicksbilderna.

  265. Vi har markerat
    procedurella kunskaper p-

  266. -och konceptuella c,
    från engelskans concept.

  267. Och vi har vägg emellan, eller...

  268. ...kopplingar emellan skrivna.

  269. Man kan säga att vi har
    fem ögonblicksbilder i diagrammet-

  270. -för en begreppsutveckling.

  271. Jag skulle gärna vilja
    att ni pratar lite med grannen-

  272. -för det brukar vara så att när man
    ser diagrammet blir man lite vilsen.

  273. Jag skulle vilja att ni funderar på:

  274. Hur menar de
    att utvecklingen går till?

  275. Skulle man kunna hitta ett exempel
    på begreppsutveckling-

  276. -som stämmer in på modellen?
    Vad är det de egentligen vill säga?

  277. Fundera på om ni kan hitta
    nåt exempel-

  278. -som ni kan beskriva
    med deras teoretiska modell.

  279. Det blev en hel del diskussioner.

  280. En hel del diskussioner
    och mycket tänkande-

  281. -och mycket armar
    och viftande hit och dit.

  282. Jag skulle jättegärna höra
    vad ni pratat om.

  283. Ni pratade väldigt flitigt.
    Ska ni säga nånting om...

  284. Jag tänker mig nedslag i
    hur man ser på multiplikation.

  285. På första steget kanske man lärt sig
    att två gånger tre är sex-

  286. -och har dålig förståelse för att
    multiplikation är upprepad addition.

  287. På steg två kanske man ser
    att det finns nåt sammanhang-

  288. -att det är upprepad addition.

  289. På steg tre tänker vi oss
    att decimaltalen börjar komma in.

  290. Sen förstår man att multiplikation
    och division hänger ihop.

  291. Man kan multiplicera
    med decimaltal och negativa tal-

  292. -och när man kommer upp till femman
    förstår man innebörden-

  293. -och man kan processerna
    på alla sätt och vis.

  294. Det beskrev
    hur man kan utveckla förståelse-

  295. -för begreppet multiplikation.

  296. Jag förmodar att det var nån
    som tänkte:

  297. "Nej, det här håller jag inte med om.
    Jag tycker p ligger för lågt"-

  298. -"och c ligger för högt.
    Varför är c högre i första?"

  299. "Ska den vara mer upp eller mindre?
    Ska det vara en rät linje?"

  300. Visst var det så? "Nej!"

  301. Det brukar vara sånt som kommer fram
    när man diskuterar bilden.

  302. Då brukar jag säga:
    låt oss fundera på vad tror vi att-

  303. -att Baroody, Johnson och Feil
    vill illustrera med sin modell?

  304. Det kanske inte är så viktigt om
    vi har en centimeter hit eller dit.

  305. Men vad är kärnbudskapet i modellen?
    Ska vi höra om vi får nån idé om det?

  306. Vi pratade mycket om att början
    kanske de har mycket begrepp-

  307. -men sen tar proceduren...
    De bara gör.

  308. De har lärt sig hur man gör
    och struntar i att förstå.

  309. Femman känns väldigt långt upp,
    att de förstår det de gör-

  310. -och kan förklara det med begrepp.

  311. Det är ju det vi vill komma till,
    men det tar ett tag.

  312. Ja. Min tolkning av modellen är-

  313. -att man försöker säga att-

  314. -procedurella och konceptuella
    kunskaper bör utvecklas tillsammans.

  315. Kanske inte precis i samma takt,
    men det är viktigt att utveckla båda.

  316. Men det är viktigt att de två typerna
    av kunskaper kopplas till varann-

  317. -så att inte processerna ligger
    i en särskild låda-

  318. -och förståelse för begreppet
    i en annan låda, utan kopplingar.

  319. Sen tror inte jag man ska använda
    bilden för att mäta millimetrar-

  320. -för det tror jag beror på individer,
    vilken undervisning man möter-

  321. -men också kanske
    vilket begreppet är.

  322. Vilka svårigheter man möter
    i just det begrepp som man hanterar.

  323. Jag tror att det finns begrepp-

  324. -som den här utvecklingen är svårare
    att ta sig igenom.

  325. Det finns begrepp som är vad man
    brukar kalla "troublesome knowledge".

  326. De är svåra att lära sig.

  327. Men en del av de svåra begreppen
    har också en väldig potential.

  328. När man får förståelse för dem-

  329. -får man förståelse för
    ett helt område i matematiken.

  330. De begreppen
    har kommit att kallas tröskelbegrepp.

  331. "Threshold concept" på engelska.

  332. Med det menar man begrepp
    som kan fungera som en portal-

  333. -till ett nytt sätt
    att se på ett område.

  334. Ett sätt man inte hade tillgängligt
    innan man förstod begreppet.

  335. Förståelse förändrar synen
    på hela området.

  336. Det är en tröskel att ta sig över,
    men då öppnar sig ett nytt landskap.

  337. I ett stort projekt i Storbritannien-

  338. -som handlade om att förbättra
    undervisning på universitet-

  339. -framför allt i ingenjörsutbildningar
    och ekonomiutbildningar...

  340. När man tittade på
    studenternas lärande såg man tydligt-

  341. -att studenterna mötte
    den här typen av begrepp.

  342. Begrepp som var svåra,
    men gav utdelning-

  343. -när man tog tag
    och tog sig över tröskeln.

  344. Exempel som Meyer och Land ger
    i sin första text från 2003-

  345. -är det matematiska begreppet
    gränsvärde.

  346. Våra gymnasister möter det
    innan de börjar med derivata.

  347. De pratar om alternativkostnad
    i ekonomi-

  348. -ett tröskelbegrepp
    som jag inte har passerat.

  349. Jag har fortfarande svårt
    att förstå vad det står för.

  350. Det handlar om
    att om man inte gör investeringar-

  351. -så innebär det också kostnader.

  352. Demokratibegreppet i samhällskunskap-

  353. -som också var involverade
    i projektet.

  354. När de försöker tala om vad det är...
    Att definiera "tröskelbegrepp"-

  355. -är inte helt enkelt. Det kommer nog
    att kräva en process som är pågående.

  356. Det Meyer och Land gjorde var
    att presentera egenskaper-

  357. -för att specificera begreppen.

  358. Då har vi att begreppen är
    svåra att lära.

  359. De är "troublesome knowledge".

  360. Ofta kan det vara
    att det känns inte naturligt.

  361. Lite anti-intuitivt.

  362. Det tar emot lite och verkar
    oförenligt med det man kan förut.

  363. Men de är också transformativa,
    så att när man får förståelse-

  364. -förändras synen för ett helt område.

  365. Det är en väldigt viktig
    och central egenskap.

  366. Man säger att de är integrativa
    och med det menar man att...

  367. Många gånger har elever kunskaper
    som är fragmenterade.

  368. Man kan lite,
    men vet inte hur det hänger ihop.

  369. När man förstår ett tröskelbegrepp
    innebär det-

  370. -att man också sammanfogar
    tidigare separata delar-

  371. -till helheter.
    Saker faller liksom på plats.

  372. Man säger
    att tröskelbegreppen är irreversibla.

  373. När man har fått förståelse för dem
    tappar man inte den så lätt.

  374. Jättebra! Det är bara det att
    när vi ska undervisa om begreppen-

  375. -måste vi verkligen
    aktivt tänka efter:

  376. Hur förstod man
    innan man passerade tröskeln?

  377. Ofta blir begreppen så självklara
    när man förstått-

  378. -att det finns inget att förklara,
    trots att de är så svåra.

  379. Kan ni tänka på nåt sånt begrepp?

  380. Man säger också att de är diskursiva.

  381. När man skapar förståelse
    förändras också samtalet-

  382. -det sätt man pratar om
    de här begreppen.

  383. I matematiken innebär det ofta
    att man infogar mer formellt språk.

  384. Så det blir ett antal...
    Man får en bredare och större...

  385. ...en utvidgad diskurs
    med mer ämnesspecifika uttryck.

  386. En del begrepp, kanske inte så många
    av de matematikbegrepp-

  387. -som vi pratar om i grundskolan-

  388. -kan vara vad Meyer och Land
    kallar rekonstitutiva.

  389. Med det menar han att förståelsen
    förändrar hela personligheten.

  390. Man får en annan självförståelse
    eller självkänsla i matematiken.

  391. När man har knäckt koden
    blir man en annan människa.

  392. Inte alla matematiska begrepp
    har den stora, tunga delen-

  393. -men forskare inom medicinutbildning
    pratar mycket om det.

  394. När man förstår en del begrepp
    får man en annan syn på sig själv.

  395. De här begreppen
    är också områdesspecifika:

  396. De ger tillträde till nya områden.
    De ligger som gränspelare-

  397. -och när man förstår ett
    når man ett nytt område.

  398. Det finns också nåt som Meyer
    och Land kallar liminal space.

  399. När man ska ta sig över tröskeln
    är det ofta en period av-

  400. -nån slags...
    vankelmod var kanske inte rätt ord?

  401. Ena stunden förstår man.
    Nästa stund förstod man inte alls.

  402. Man kommer på det
    och tappar bort det igen.

  403. I det här läget-

  404. -när vi inte riktigt har koll på,
    men försöker-

  405. -så finns det väldigt stor risk
    att elever fastnar.

  406. Om inte elever får tillräckligt stöd
    kan de bli kvar i liminal space.

  407. Det som forskning visar händer då
    är att man tar till nödlösningar.

  408. Man lär sig utantill.
    Man lär sig bara processer.

  409. Även om jag inte förstår
    kan jag lära mig deriveringsreglerna-

  410. -och kanske att det räcker
    för att bli godkänd.

  411. Men det blir svårt att komma vidare
    om man inte har förstått idén-

  412. -vad derivering är.

  413. Liminal space vill vi inte
    att våra elever ska bli kvar i.

  414. Därför behöver vi se till att
    de får stöd när de möter begreppen.

  415. Om man tittar på forskning
    om tröskelbegrepp-

  416. -så finns ett flertal studier,
    framför allt på universitetsområdet.

  417. Fortfarande inte speciellt mycket
    i matematikdidaktik.

  418. Men vill man veta vad som finns
    då kan man gå till en webbsida-

  419. -där det finns mycket material.
    Om man inte kommer ihåg adressen-

  420. -räcker det med "threshold concept",
    Googla på det.

  421. Då får man träff på sidan,
    där det finns jättemycket material-

  422. -uppställt i alla möjliga ordningar.

  423. Där finns också en del grundtexter
    som förklarar om tröskelbegrepp.

  424. Forskning säger att tröskelbegreppen
    är juvelerna i våra kursplaner.

  425. Det är det viktigaste, det centrala,
    det vi verkligen måste fixa.

  426. Forskning visar att om man lägger
    mer tid på de begreppen-

  427. -så blir det bättre resultat.
    Det lönar sig att fokusera.

  428. Det finns också forskning som visar
    att om man försöker förenkla lite-

  429. -så blir det inte bra.
    Man måste kämpa sig över tröskeln-

  430. -och inte försöka smita runt,
    för då skapar det hinder längre fram.

  431. Kan ni tänka på nåt tröskelbegrepp
    i den matematik ni brukar undervisa?

  432. Ska vi se om vi har en mikrofon...

  433. Jag tycker att i grundskolan,
    i lägre åldrar, är det likhetstecken.

  434. Om man fastnar där
    blir det mycket svårare-

  435. -att sen jobba med ekvation, funktion
    och vidare.

  436. Och det är många...

  437. De skriver 3 + 4 = 7
    och sen gånger 2-

  438. -och fortsätter i samma rad...

  439. När man pratar med dem säger de:
    "Vi har gjort så här."

  440. Likhetstecknet är ett exempel.
    Nån som vill komma med nåt annat?

  441. Annars kommer jag med ett exempel.

  442. Bråk. Bråk är väldigt svårt
    för många elever-

  443. -men vi vet också att det får
    stora konsekvenser när man förstår-

  444. -relationen del-helhet-

  445. -att det går inte att generalisera
    på samma sätt som naturliga tal-

  446. -att vi både kan se det som
    ett par av tal och en enskild enhet.

  447. Vi går från vardagstänkande
    till mer formellt tänkande.

  448. Vi ger tillträde till
    ett nytt område.

  449. Vi får redskap för
    algebraisk förståelse längre fram.

  450. Bråkbegreppet är
    tydligt i grundskolan-

  451. -och naturligtvis också finns kvar
    i gymnasiekurserna.

  452. De tröskelbegrepp jag studerat
    är funktion, gränsvärde-

  453. -derivata och integral.

  454. Mitt huvudintresse
    är universitetsstudenter-

  455. -eftersom jag har
    min mesta erfarenhet därifrån.

  456. Jag funderar mycket på:
    varför förstår man ibland-

  457. -och hur går det till
    när man tar sig över tröskeln.

  458. Det har jag försökt undersöka.

  459. Då måste jag fundera på
    hur kan jag se-

  460. -hur eleverna förstår begreppen.

  461. Då har jag valt att använda
    ett ramverk från Anna Sfard.

  462. 2008 publicerade hon en bok,
    "Thinking as communicating".

  463. Hon tänker sig att om man ser
    tänkande som inre kommunikation-

  464. -då kan jag prata om kommunikation
    och få med det-

  465. -som man annars brukar prata om
    som kognitiva saker.

  466. Hon myntar begreppet kommognition-

  467. -genom att sätta ihop begreppen
    kommunikation och kognition.

  468. Hon myntar ett nytt ord här.

  469. Då säger hon att
    för att studera utveckling-

  470. -kan man titta på hur elever pratar.

  471. Den diskurs som de uttrycker.

  472. Hur pratar de om
    ett matematiskt begrepp?

  473. Vad är det för ord de använder?

  474. Vad är det för bilder?
    Hon kallar det visuella mediatorer.

  475. Vad är det för beskrivningar?
    Vad är det för exempel?

  476. Hon kallar det narrativ.

  477. Vad är det för procedurer
    och algoritmer eller "rutiner"?

  478. Det har jag gjort genom att låta
    universitetsstudenter prata-

  479. -och skriva om begreppet funktion.

  480. Jag har följt
    en grupp blivande lärarstudenter-

  481. -nej, blivande lärare.
    De läser sin första termin matematik.

  482. Jag funderar på:

  483. Hur ser transformationen ut
    när de tar sig över tröskeln-

  484. -vad gäller funktionsbegreppet?

  485. Vi vet ju att funktionsbegreppet
    är svårt att lära sig-

  486. -men som har stora effekter.

  487. Vi kan gå igenom listan
    och se att det är ett tröskelbegrepp.

  488. Det beskriver vardagsföreteelser-

  489. -men är också centralt
    i en mer formell matematik.

  490. En definition kan se ut så här.
    Man definierar funktion som en regel.

  491. Det får ofta elever att uppfatta
    att det måste finnas en formel.

  492. Här är definitionen som studenterna
    mötte i en enda specifik övning.

  493. Annars var det den första
    som fanns i deras kursbok...

  494. Man kan också se en funktion
    som en mängd av ordnade par.

  495. Den definitionen hjälper ofta-

  496. -eller hjälpte eleverna att se-

  497. -att vi måste inte ha likhetstecken
    mellan funktion och formel.

  498. Vi ska se ett exempel lite senare.

  499. Det är alltså lärarstudenterna.

  500. Jag var med på deras undervisning
    och lät dem fylla i enkäter:

  501. "Beskriv så tydligt som möjligt
    vad en funktion är."

  502. Jag gjorde intervjuer med dem.

  503. Det har blivit presenterat
    på en konferens för två år sen.

  504. -så det går att läsa mer om-

  505. -men jag tänkte kort berätta
    hur det såg ut för eleverna-

  506. -när det gällde deras diskurs
    runt funktionsbegreppet.

  507. Två av de fyra som jag gjorde
    mycket intervjuer med, Anna och Dina-

  508. -använde mycket matematiska ord
    redan i början på terminen.

  509. Men de utökade också sin repertoar
    under terminens gång.

  510. Två andra studenter, Bosse och Cilla-

  511. -använde inte nån gång under perioden
    som jag följde dem-

  512. -nämnvärt mycket matematiska ord.

  513. Ja, kanske fler än elever
    i tidiga åren på grundskolan-

  514. -men i relation till
    den nivå de studerade på-

  515. -kan man se att det var
    ganska mycket vardagligt språk.

  516. Tittar man på vad de använde
    för bilder, visuella mediatorer-

  517. -använde Anna och Dina
    grafer och formler-

  518. -på ett självklart sätt.

  519. De passade in i sammanhanget
    på ett smidigt sätt.

  520. Till exempel ger de en formel
    för en taxiresa. Det var Dina.

  521. Anna, efter att hon har
    mött definitionen-

  522. -med en funktion som ordnade par-

  523. -skriver hon "nu har jag lärt mig
    att det här är en funktion"-

  524. -och så ritar hon
    den här diskreta funktionen.

  525. Det exempel som läraren presenterat
    var ett exempel-

  526. -där han tittade på en lista
    med namn på studenter-

  527. -och vilket betyg de fick och
    illustrerade det i ett sånt diagram.

  528. Det var ett exempel på
    en diskret funktion-

  529. -för till varje elev
    har vi tillordnat precis ett betyg.

  530. De andra två studenterna,
    och det råkade bara slumpa sig-

  531. -att de kunde delas upp i
    de här två olika typerna-

  532. -de stöder sig väldigt mycket
    på visuella mediatorer.

  533. De pratar hela tiden
    om grafer och kurvor-

  534. -och förklarar allting utifrån dem
    och känner trygghet i dem.

  535. Tittar vi på hur de uttrycker sig-

  536. -så kan man säga att Anna och Dina
    börjar i vardagsuttryck och exempel-

  537. -men uttrycker sig
    mer och mer formellt-

  538. -och använder sig av ordnade par
    som definition.

  539. De andra två studenterna pratar
    utifrån de visuella mediatorerna.

  540. Man kan se att de har varit med
    på lektionen med betygsfunktionen-

  541. -men de lyckas inte
    göra nånting av den.

  542. Den finns med dem,
    men de kan inte använda den.

  543. Man kan säga
    att Anna och Dina utvecklar rutiner-

  544. -för att avgöra om en graf
    illustrerar en funktion eller inte.

  545. De använder att det måste
    för varje x-värde-

  546. -bara finnas precis ett y-värde,
    inte fler.

  547. Däremot Bosse och Cilla klarar inte,
    även när terminen är över-

  548. -att avgöra om nåt är
    en funktion eller inte.

  549. Däremot har de en massa rutiner för
    att manövrera med olika funktioner.

  550. Tittar man på
    de här fyra studenterna-

  551. -kan man se att deras utveckling
    skiljer sig mycket åt.

  552. Två av dem utvecklar sin diskurs-

  553. -från vardagsexempel
    till mera formella uttryck-

  554. -använder visuella mediatorer
    balanserat-

  555. -och utvecklar en rutin
    för funktioner.

  556. Medan de andra två inkluderar
    endast ett fåtal matematiska ord-

  557. -och har de här visuella mediatorerna
    som dominerar starkt.

  558. Tittar man på slutsatserna
    kan man se på studieresultaten...

  559. Det kan ni räkna ut,
    att det gick bättre för två av dem.

  560. Alla klarade så småningom kursen-

  561. -men två fick göra ett par försök
    innan de var klara med kursen.

  562. Vad kan vi lära oss? Det tar lång tid
    att ta sig över tröskeln-

  563. -och det krävs mycket stöd.

  564. Det räcker inte att möta
    den formella matematiken utan hjälp.

  565. Det är också viktigt
    att utöka sitt ordförråd-

  566. -och använda sig
    av visuella mediatorer-

  567. -men de får inte bli de enda,
    så att säga.

  568. De ska vara en del,
    på ett balanserat sätt.

  569. Ja, om vi går tillbaka
    till grundskolan/gymnasiet-

  570. -så har vi i uppdrag att utveckla
    våra elevers begreppsförmåga.

  571. I kursplanen för grundskolan står att
    elever ska utveckla förtrogenhet-

  572. -med grundläggande matematiska
    begrepp och deras användbarhet.

  573. Det står att genom undervisningen
    ska eleverna utveckla sin förmåga-

  574. -att använda och analysera
    matematiska begrepp och samband.

  575. Gymnasiets kursplan
    är formulerad annorlunda:

  576. Man ska utveckla förmåga
    att beskriva innebörden-

  577. -av matematiska begrepp samt samband.

  578. Det betyder att begreppsförmåga
    kan inte bara handla om ordkunskap.

  579. Man ska inte kunna etiketter-

  580. -utan man måste ha
    nåt innehåll till etiketterna också.

  581. Man ska kunna använda begreppen,
    beskriva innebörden-

  582. -kunna analysera,
    känna till samband mellan begrepp-

  583. -och ha förtrogenhet med begrepp.

  584. Då återstår naturligtvis frågan:
    hur ska vi göra det?

  585. Ja, här har inte jag
    de allra bästa svaren.

  586. Jag tror aldrig vi kommer ha
    ett enda svar-

  587. -men ni sitter på
    en hel mängd erfarenhet-

  588. -och en hel mängd kunskap.

  589. Jag tror att
    om man funderar runt detta-

  590. -så kan man bygga undervisning
    som också hjälper eleverna.

  591. Det är viktigt att komma ihåg att-

  592. -det tar tid att utveckla
    sin förståelse för olika begrepp-

  593. -särskilt begrepp som är så viktiga
    att vi inte får hoppa över dem.

  594. Det är viktigt att komma ihåg
    att eleverna behöver stöd-

  595. -att låta procedurella
    och konceptuella kunskaper utvecklas-

  596. -och jag tror att det lönar sig
    att fokusera på tröskelbegrepp.

  597. Jag tror att det ger resultat.
    Då kommer annat med på köpet.

  598. Det var vad jag ville berätta om
    tröskelbegrepp och förståelse.

  599. Jag hoppas att jag har skickat med er
    nånting som ni kan ha nytta av.

  600. Tack ska ni ha för att ni lyssnade.

  601. Textning: Linnéa Holmén
    www.btistudios.com

Hjälp

Stäng

Skapa klipp

Klippets starttid

Ange tiden som sekunder, mm:ss eller hh:mm:ss.

Klippets sluttid

Ange tiden som sekunder, mm:ss eller hh:mm:ss.Sluttiden behöver vara efter starttiden.

Bädda in ditt klipp:

Bädda in programmet

Du som arbetar som lärare får bädda in program från UR om programmet ska användas för utbildning. Godkänn användarvillkoren för att fortsätta din inbäddning.

tillbaka

Bädda in programmet

tillbaka

Fokus på matematiska tröskelbegrepp

Produktionsår:
Längd:
Tillgängligt till:

Det finns vissa begrepp inom matematiken som många elever har svårt att lära men som är enormt viktiga för den fortsatta matematiska förståelsen, berättar didaktikforskaren Kerstin Pettersson. Genom att fokusera på dessa tröskelbegrepp får man ett mycket bättre studieresultat hos eleverna. Inspelat den 31 januari 2015 på Stockholms universitet. Arrangör: Stockholms universitet.

Ämnen:
Pedagogiska frågor > Didaktik och metod
Ämnesord:
Didaktik, Matematikundervisning, Pedagogik, Pedagogisk metodik, Undervisning
Utbildningsnivå:
Lärarfortbildning

Alla program i UR Samtiden - MA/NV-biennetten 2015

Spelbarhet:
UR Skola
Längd:
TittaUR Samtiden - MA/NV-biennetten 2015

Samtal om fantastisk undervisning

Panelsamtal med personer som berättar hur de lyckas genomföra sina visioner i skolans verksamhet. Medverkande: högstadielärarna Anna Efremova och Ola Palm samt Lina Axelsson Kihlblom, utbildningschef i Nyköpings kommun och Helena Frieberg, ordförande för Sveriges elevkårer. Inspelat den 31 januari 2015 på Stockholms universitet. Arrangör: Stockholms universitet.

Produktionsår:
2015
Utbildningsnivå:
Lärarfortbildning
Beskrivning
Spelbarhet:
UR Skola
Längd:
TittaUR Samtiden - MA/NV-biennetten 2015

Digitala verktyg i undervisningen

Ma/No-läraren Camilla Askebäck Diaz visar konkreta exempel från sin undervisning och berättar hur man kan använda Ipaden som ett pedagogiskt verktyg. Tillsammans med projektorn blir en dator/lärplatta ett starkt pedagogiskt verktyg som kan användas till att visualisera, simulera och skapa interaktion med och för eleverna. Inspelat den 31 januari 2015 på Stockholms universitet. Arrangör: Stockholms universitet.

Produktionsår:
2015
Utbildningsnivå:
Lärarfortbildning
Beskrivning
Spelbarhet:
UR Skola
Längd:
TittaUR Samtiden - MA/NV-biennetten 2015

Experiment gör abstrakta teorier konkreta

Att experimentera i undervisningen kan vara ett sätt att konkretisera abstrakta teorier och låta elever få möjlighet att öva sig att arbeta vetenskapligt, menar Cecilia Kozma som är föreståndare vid Vetenskapens hus i Stockholm. Inspelat den 31 januari 2015 på Stockholms universitet. Arrangör: Stockholms universitet.

Produktionsår:
2015
Utbildningsnivå:
Lärarfortbildning
Beskrivning
Spelbarhet:
UR Skola
Längd:
TittaUR Samtiden - MA/NV-biennetten 2015

Tankar kring begreppet bedömning

Forskaren Eva Hartell ger exempel på hur lärare kan arbeta med formativ bedömning. Inspelat den 31 januari 2015 på Stockholms universitet. Arrangör: Stockholms universitet.

Produktionsår:
2015
Utbildningsnivå:
Lärarfortbildning
Beskrivning
Spelbarhet:
UR Skola
Längd:
TittaUR Samtiden - MA/NV-biennetten 2015

Matteaktiviteter skapar förståelse

Redan i den tidiga matematikundervisningen måste man nöta in viktiga begrepp för att eleverna ska få en förståelse i de senare årskurserna. De båda MA- och NO-lärarna Anna Nilsson och Veronica Jatko Kraft tipsar om bra aktiviteter från förskoleklass till årskurs 9. Inspelat den 31 januari 2015 på Stockholms universitet. Arrangör: Stockholms universitet.

Produktionsår:
2015
Utbildningsnivå:
Lärarfortbildning
Beskrivning
Spelbarhet:
UR Skola
Längd:
TittaUR Samtiden - MA/NV-biennetten 2015

Fokus på matematiska tröskelbegrepp

Det finns vissa begrepp inom matematiken som många elever har svårt att lära men som är enormt viktiga för den fortsatta matematiska förståelsen, berättar didaktikforskaren Kerstin Pettersson. Genom att fokusera på dessa tröskelbegrepp får man ett mycket bättre studieresultat hos eleverna. Inspelat den 31 januari 2015 på Stockholms universitet. Arrangör: Stockholms universitet.

Produktionsår:
2015
Utbildningsnivå:
Lärarfortbildning
Beskrivning
Visa fler

Mer lärarfortbildning & pedagogiska frågor

Spelbarhet:
UR Skola
Längd
Titta UR Samtiden - Skolforum 2015

Bättre möten från och med nu

Möten upptar en stor del av vår arbetstid och kan många gånger tjäna som tidstjuvar, menar pedagogen och författaren Terese Raymond. Ofta slarvar vi med att göra en tydlig plan för mötet och vi glömmer det viktigaste, att mötet skall ha ett tydligt syfte. Terese visar här på verktyg för att förbereda, leda och följa upp ett möte. Med en tydlig struktur får mötesdeltagarna en chans att bidra på ett bra sätt. Inspelat den 26 oktober på Älvsjömässan i Stockholm. Arrangör: Skolforum.

Spelbarhet:
UR Skola
Längd
Lyssna Skolministeriet

Deaf power i skolan

De kallar sig dövaktivister och de rycker ut när dövas och hörselskadades rättigheter är hotade. 23-åriga Rebecca Jonsson och några andra aktivister kedjade vid ett tillfälle fast sig i trappen till dövskolan Östervångsskolan i Lund. De protesterade mot att ingen döv kandidat gått vidare i rekryteringen av en ny rektor till skolan. En annan tendens som väcker protester bland unga döva är att dövskolor slås ihop med skolor för hörande. Vi möter dövaktivisterna som vänder sig mot vad de kallar hörselnormen i samhället och som vill att dövskolan ska vara en fristad där döva och hörselskadade får vara sig själva. Hela programmets innehåll finns som text i programmanuset.