LärarhandledningSå funkar matte!

Övning 1

Alvas mamma säger att hon ska få höjd månadspeng. Höjningen skulle innebära en tredjedel mer än den summa hon får idag. Alva funderar på att hellre be sin mamma om en höjning som skulle innebära en fjärdedel mer än nuvarande månadspeng.

Vilken höjning av de två innebär den högsta? Hur tänker Alva? Varför tror hon att en fjärdedel är större än en tredjedel? Diskutera med eleverna.

Lösning: Alva ska anta mammas bud eftersom en tredjedel är en större andel än en fjärdedel.

Övning 2

Heidrun är en av 16 spelare i ett innebandylag. I hennes lag har tre fjärdedelar av spelarna fyllt 12 år.

a) Hur många spelare har fyllt 12 år?

b) Hur stor andel av spelarna har inte fyllt 12 år ännu?

Lösningar:

a) Figur 1: Det är 16 spelare i laget.

Figur 2: Det är 16 spelare i laget och vi ska dela in det i fyra delar. 16 ⋅ $\frac{3}{4}\backslash frac\{3\}\{4\}$ = 12 spelare som är 12 år.

b) Figur 3-4: Hela laget är 16 spelare $\frac{4}{4}\backslash frac\{4\}\{4\}$ = 16 spelare. Eftersom $\frac{3}{4}\backslash frac\{3\}\{4\}$ av spelarna är 12 är det $\frac{1}{4}\backslash frac\{1\}\{4\}$ av laget som är under 12 år. 16 spelare – 12 spelare = 4 spelare

Övning 3

Brasse ska bygga en figur av 12 kuber. $\text{}\frac{2}{6}\text{}\backslash frac\{2\}\{6\}\; $ ska vara röda, $\frac{1}{3}\backslash frac\{1\}\{3\}$ blå, $\frac{2}{12}\backslash frac\{2\}\{12\}$ vita och resten är gröna. Hur många gröna kuber har Brasse i sin figur?

Lösning:

12 kuber är helheten och delarna är:

Resten är gröna.

Det finns olika lösningar på denna uppgift:

$\frac{1}{12}\backslash frac\{1\}\{12\}$ av 12 kuber = 1 kub

Detta ger att:

$\text{}\frac{2}{6}\backslash frac\{2\}\{6\}$ = $\frac{4}{12}\backslash frac\{4\}\{12\}$ 4 kuber är röda (figur 1)

$\frac{1}{3}\backslash frac\{1\}\{3\}$ = $\frac{4}{12}\backslash frac\{4\}\{12\}$ 4 kuber är blå (figur 1-2)

$\text{}\frac{2}{12}\backslash frac\{2\}\{12\}$ 2 kuber är vita (figur 1-2) och 2 kuber är gröna $\frac{2}{12}\backslash frac\{2\}\{12\}$= $\frac{1}{6}\backslash frac\{1\}\{6\}$ (figur 2)

De 12 grå kuberna används som referens.

Övning 4

En bagare bakar bröd. Hon tillsätter först två sjättedelar av mjölet i sin deg och sedan en tredjedel. Därefter häller hon ytterligare 6 liter mjöl i degen. Hur mycket mjöl använder bagaren till sin deg?

Lösning:

$\frac{2}{6}\backslash frac\{2\}\{6\}$=$\frac{1}{3}\backslash frac\{1\}\{3\}$ = 6 liter mjöl.

• Rita upp 6 rutor. 6 rutor är vår helhet. Varje ruta är $\frac{1}{6}\backslash frac\{1\}\{6\}$
• Markera $\frac{2}{6}\backslash frac\{2\}\{6\}$ färglägg 2 rutor = $\frac{2}{6}\backslash frac\{2\}\{6\}$
• Markera $\frac{1}{3}\backslash frac\{1\}\{3\}$ Genom att förlänga $\frac{1}{3}\backslash frac\{1\}\{3\}$ med 2 = $\frac{2}{6}\backslash frac\{2\}\{6\}$ Markera två rutor till. Det är två rutor kvar:  $\frac{2}{6}\backslash frac\{2\}\{6\}$ Det är lika med 6 liter mjöl. 
• Dela de 6 liter mjölet på hälften $\frac{1}{2}\backslash frac\{1\}\{2\}$ vilket ger $\frac{6litermj\ddot{o}l}{2}\backslash frac\{6~liter~mjöl\}\{2\}$ = 3 liter mjöl. Varje ruta innehåller 3 liter mjöl.
• 3 liter mjöl ⋅ 6 = 18 liter mjöl.

Bagaren använder 18 liter mjöl.

Övning 1

Beppe stickar en halsduk till en kompis i julklapp. Den ska vara 1,5 m lång och den ska stickas randig i tre färger. I sin korg med garn har Beppe: 25 gram blått garn, 75 gram grönt garn och 125 gram orangefärgat garn. Det kommer att gå åt 150 gram av varje färg för att halsduken ska bli 1,5 m. Varje garnnystan väger 50 gram.

a) Hur många garnnystan måste Beppe köpa av varje färg?

b) Ser du något som skulle kunna påverka hur mycket garn som går åt?

c) Vad skulle halsduken kunna väga?

I denna uppgift ingår förutom gram även kilogram och hektogram. Prata om de olika prefixens betydelse: hekto = hundra/100, kilo = tusen/1000. Prefixen betyder alltid detsamma oavsett det avslutande ordledet. Jämför till exempel med kilometer.

Svar på frågor:

a) Garn: 25 gram blå, 75 gram grön och 125 gram orange.

150 gram garn av varje färg för att få en halsduk som är 1,5 meter lång.

Ett nystan har en vikt på 50 gram.

● Blå färg: det behövs 125 gram till, då måste Beppe köpa 3 nystan.

50 ⋅ 3= 150 g

● Grön färg: det behövs 75 gram till, då måste Beppe köpa 2 nystan.

50 ⋅ 2= 100 g

● Orange färg: det behövs 25 gram till, då måste Beppe köpa 1 nystan.

50 ⋅ 1= 50 g

b) Det kan bero på hur hårt eller löst han stickar.

c) Halsduken kan väga t ex 450 g. Men beroende på hur löst eller hårt han stickar kan halsduken väga mindre eller mer.

Övning 2

Mormor ska väva en trasmatta till Brasse. Hon har en korg med mattrasor i många härliga färger. De är nystade till bollar och väger olika mycket. Det behövs 3 kg mattrasor till mattan. Brasse plockar ut de färger han vill ha och väger dessa på en våg:

❖ gul 135 g

❖ röd 2 hg

❖ grön 535 g

❖ orange 1,5 hg

❖ blå 0,7 kg

❖ lila 0,93 kg

❖ vit?

a) Hur mycket väger de vita mattrasorna som Brasse behöver om hans matta ska väga 3 kg?

b) Brasse ångrar sig och vill ha dubbelt så mycket vitt i sin matta. Hur mycket måste han då ta bort, av en eller flera färger?

c) Brasse får sin färdiga matta inslagen i en kartong. Måtten på kartongen är 30 cm ⋅ 30 cm ⋅ 70 cm. Är det en stor eller liten kartong? Hur många liter rymmer kartongen?

Lösningar:

a) Gör om vikterna itll samma viktenhet, t ex gram. Sammanlagt är det 2650 gram och det behövs 3000 gram. Beräkna: 3000 - 2600 = 350 Det behövs 350 gram vitt i mattrasor för en 3 kg tung matta.

b) 350 g ⋅ 2 = 700 g. Han måste ta bort 350 g.

c) 30 ⋅ 30 ⋅ 70 = 63000 cm3 = 63 liter

Återkoppla till avsnittet

1. Var i vardagen kan du möta procenttecknet? (Exempel: batterinivå, rea, ekonomifrågor)
2. Vilka olika samband mellan procent och bråk nämner de i avsnittet? (50 %, hälften, $\text{}\frac{1}{2}\backslash frac\{1\}\{2\}$ )
3. I vilket slags diagram är det fördelaktigt och vanligast att använda procent? (Exempel: cirkeldiagram)

Övning 1

Hjälp Beppe att räkna ut hur mycket han behöver betala när han handlar med sin bror. Beppe ska betala det som är kvar, då Brasse har betalt: 50 % av 120 kr och 15 % av 1500 kr. Utför beräkningarna med lämplig metod.

Lösning:

Här behöver eleverna utföra flera beräkningar för att lösa den slutgiltiga uppgiften.

$\frac{120}{2}\backslash frac\{120\}\{2\}$ = 60 eller 120 ⋅ 0.5 = 60 kr.

Eftersom 50 % är lika mycket som en halv i bråkform.

15 % av 1500 kr

För att få veta vad 1% är: $\frac{1500}{100}\backslash frac\{1500\}\{100\}$= 15kr. 15 ⋅ 15 kr = 275 kr eller 10% av 1500 = 150 kr, 5% av 10% är hälften av 150 kr $\frac{150}{2}\backslash frac\{150\}\{2\}$ = 75 kr, vilket ger 150 kr + 75 kr = 225 kr

Brasse ska betala 60 kr + 225 kr = 285 kr

Beppes beräkning: (1500 + 120) – 285 = 1335 kr, eller 1620 – 285 = 1335

Svar: Beppe ska betala 1335 kr 

Övning 2

Brasse ska köpa en cykel. Den kostar 3000 kronor, men nu säljs den med 20 % rabatt.

a) Hur mycket rabatt får Brasse i kronor räknat?

b) Vilket pris ska Brasse betala för cykeln?

Lösningar:

a) 3000 ⋅ 0.20 = 600 kr, eller 3000 ⋅ 0.10 = 300 kr, 2⋅ 300 = 600 kr eller 1% av 3000 kr är $\frac{3000}{100}\backslash frac\{3000\}\{100\}$ = 30 kr, 20 ⋅ 30 kr = 600 kr.

Svar: Rabatten är 600 kr

b) 3000 – 600 = 2400 kr Svar: Brasse ska betala 2400 kr för cykeln. 

Övning 1

Brasse och Beppe vandrar 63 km under fyra dagar i fjällen. Den första dagen vandrade de 17,8 km, den andra dagen 16,7 km och den tredje dagen 15,4 km. Hur långt vandrade de den fjärde dagen?

Lösning:

63 – (17.8 + 16.7 + 15.4) = 13.1 km 

Övning 2

I fjällen fiskade Beppe i en å. Han fick en fisk som vägde 0,84 kg.

"Om man multiplicerar fiskens vikt med 75, och tar bort en femtedel, och avrundar till närmaste ental, då väger fisken lika mycket som jag", sa Beppe. Vad väger Beppe? Använd miniräknare för att lösa uppgiften.

Lösning:

Uppgiften löses i flera led:

$\frac{0,84\cdot 75}{5}\backslash frac\{0,84\cdot 75\}\{5\}$ = 12.6

12.6 ⋅ 4 = 50.4

Avrunda till närmast ental, 50 kg.

Övning 1

Hjälp Brasse att sätta ut de matematiska tecknen < , > och = så att uppgifterna nedan stämmer.

a) 912,34 ⬜ 912,4

b) fyra femtedelar ⬜ tre niondelar

c)$\frac{2}{7}\backslash frac\{2\}\{7\}$ ⬜ $\frac{16}{56}\backslash frac\{16\}\{56\}$

 Lösningar:

a) 912, 34 ＜ 912,4

b) fyra femtedelar ＞ tre niondelar

c) $\frac{2}{7}\backslash frac\{2\}\{7\}$ = $\frac{16}{56}\backslash frac\{16\}\{56\}$

Övning 2

Beppe har två hinkar med olika vikter i. Hink A har vikten 463 g. Hink B har vikten 3,67 hg. Hur många gram ska Beppe lägga till i den lättare hinken om han vill att den ska väga mer än den tyngre?

Lösning:

Beppe måste lägga till 97 gram eller mer.

Återkoppla till avsnittet

1. När används algebra? Diskutera tillsammans. (Vi använder algebra hela tiden, fast vi inte tänker på det. Exempel: Jag har 60 kronor att köpa glass för till mig och mina två kompisar. Min glass kostar 27 kronor. Hur mycket kan mina kompisars glassar kosta?)
2. Vilken matematisk symbol visar oss att det ska vara samma värde i höger och vänster led? (likhetstecknet)
3. Vad är ett uttryck och vad är en beräkning? (Ett matematiskt uttryck är tecken ordnade så att det går att tolka matematiskt. Ett uttryck kan du inte lösa. När du har värden att ersätta variabeln med t ex x=2 i uttrycket och du kan lösa beräkningen har du en ekvation.)

Areamodellen:

Areamodellen är en modell för att elever ska se och förstå multiplikativa strukturer, som till exempel 5 ⋅ 4, 50 ⋅ 40 och 5x= 5 ⋅ x. Eleverna kan med denna modell konstruera bärande matematiska idéer som hjälper dem att utveckla grundläggande strategier för multiplikation.

Övning 1

Heidrun är 5 år äldre än lillebror Beppe. Teckna ett uttryck för hur gammal Heidrun är när Beppe är X år.

Lösning

X + 5 är Heidruns ålder. X = Beppes ålder

Övning 2

Brasse bor i Sportkrokens kommun. Där frågade kommunen alla mellanstadieelever vilken idrott de gillade bäst. Svaren fördelade sig så här:

Friidrott fick 1200 fler röster än bollsport. Dans gillades näst bäst och fick 5 gånger fler röster än bollsport.

a) Teckna ett uttryck för hur många som var med och röstade i undersökningen. Anta att bollsport fick X röster.

b) Om X = 82 visar kan det visa att antalet elever som gillade bollsport var 82 elever. Hur många tyckte då att dans var bäst? Eller att friidrott var bäst?

Lösning:

a) Bollsport = X, Friidrott 1200 röster.

Dans = 5X, d v s 5 gånger fler röster, vilket ger uttrycket 5x d v s (5 gånger x)

Uttrycket för hur många som deltog i undersökningen är X + 5X + (X + 1200)

b) 82 + (5 ⋅ 82) + (82+1200) = 82+410+1282=1774

Övning 3

Träna på att få variabeln själv, på ena sidan av likhetstecknet, genom att lösa ekvationerna.

a) 3x - 5 = 13

b) 25 = 4z -5

c) 5y + 8 = 33

Lösning:

a) 3x - 5 = 13 Svar: x = 6

b)25 = 4z -5 Svar: x = 7,5

c)5y + 8 = 33 Svar: y = 5

Övning 1

Beppe är i en nöjespark. Vid lyckohjulet ska han välja ett nummer mellan 1 och 18. Han väljer nummer 13. Hur stor chans har Beppe att vinna?

Lösning:

$\frac{1}{18}\backslash frac\{1\}\{18\}$ eller cirka 6 % chans

Övning 2

Brasse ska klä på sig men har svårt att välja kläder. Hans garderob består av 2 byxor, 3 tröjor och 4 kepsar. Hur många olika kombinationer kan det bli?

Lösning:

Vi löser kombinatoriken med multiplikation 3  ⋅ 2 ⋅ 4 = 24 olika kombinationer

Övning 3

Heidrun spelar julklappsspelet med sina två bröder. De använder två tärningar och hon måste slå två fyror för att få det paket hon vill. Hur stor är Heidruns chans att få sitt önskade paket? Innebär det en stor eller liten chans för henne?

Lösning:

Första tärningen $\frac{1}{6}\backslash frac\{1\}\{6\}$ chans, andra tärningen $\frac{1}{6}\backslash frac\{1\}\{6\}$ chans. $\frac{1}{6}\backslash frac\{1\}\{6\}$ ⋅ $\frac{1}{6}\backslash frac\{1\}\{6\}$ =$\frac{1}{36}\backslash frac\{1\}\{36\}$

Övning 1

En övning som pågår under en längre tid: Mät temperaturen utomhus under två veckor. Jämför detta med data ni hittar från året innan.

Gör två linjediagram, ett för årets temperatur och ett för fjolårets temperatur. X-axeln är aktuella datum och y-axeln är för temperatur.

Vilka likheter och skillnader finns det? Vad beror eventuella skillnader på?

Övning 2

Här har vi fyllt i en frekvenstabell, gör ett stapeldiagram som visar resultatet.

Lösning:

Övning 3

a) Beräkna medelvärdet av följande tal: 3, 7, 21, 3, 12, 5, 7, 3, 2

b) Vilket är typvärdet?

c) Vilken är medianen?

Lösningar:

a) 3 + 7 + 21 + 3 + 12 + 5 + 7 + 3 + 2 = 63

$\frac{Summanavallatalitalf\ddot{o}ljden}{antalettal}\backslash frac\{Summan~av~alla~tal~i~talföljden\}\{antalet~tal\}$=$\frac{63}{9}\backslash frac\{63\}\{9\}$=7

 b) Det tal som representeras flest antal gånger, d v s talet 3.

c) Det tal som befinner sig i mitten då talen står i storleksordning, 

   2, 3, 3, 3, 5, 7, 7, 12, 21, d v s 5.